Номер 47, страница 46, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 4. Движение с ускорением свободного падения - номер 47, страница 46.

Условие.

47. При каком угле бросания дальность полёта тела, брошенного под углом к горизонту с одной и той же по модулю начальной скоростью, максимальна?

Решение 2.

Дано:

Тело брошено под углом $\alpha$ к горизонту.

Начальная скорость (по модулю) - $v_0 = const$.

Ускорение свободного падения - $\text{g}$.

Найти:

Угол $\alpha$, при котором дальность полета $\text{L}$ максимальна.

Решение:

Движение тела, брошенного под углом к горизонту (при пренебрежении сопротивлением воздуха), можно рассматривать как сумму двух независимых движений: равномерного по горизонтали (ось Ox) и равноускоренного по вертикали (ось Oy) с ускорением $-g$.

Разложим начальную скорость $v_0$ на составляющие:

• Горизонтальная составляющая: $v_{0x} = v_0 \cos \alpha$
• Вертикальная составляющая: $v_{0y} = v_0 \sin \alpha$

Запишем уравнения движения для координат тела в зависимости от времени $\text{t}$:

$x(t) = v_{0x} t = (v_0 \cos \alpha) t$

$y(t) = v_{0y} t - \frac{gt^2}{2} = (v_0 \sin \alpha) t - \frac{gt^2}{2}$

Для нахождения дальности полета сначала определим полное время полета $t_{пол}$. Это время, за которое тело вернется на начальную высоту, то есть его вертикальная координата снова станет равна нулю: $y(t_{пол}) = 0$.

$(v_0 \sin \alpha) t_{пол} - \frac{gt_{пол}^2}{2} = 0$

$t_{пол} (v_0 \sin \alpha - \frac{gt_{пол}}{2}) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $t = 0$ (момент броска) и $v_0 \sin \alpha - \frac{gt_{пол}}{2} = 0$. Нас интересует второе решение.

$t_{пол} = \frac{2v_0 \sin \alpha}{g}$

Дальность полета $\text{L}$ — это горизонтальное расстояние, которое пролетит тело за время $t_{пол}$.

$L = x(t_{пол}) = (v_0 \cos \alpha) t_{пол}$

Подставим найденное выражение для $t_{пол}$:

$L = (v_0 \cos \alpha) \left( \frac{2v_0 \sin \alpha}{g} \right) = \frac{v_0^2 (2 \sin \alpha \cos \alpha)}{g}$

Используя тригонометрическое тождество $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin(2\alpha)$, получаем формулу для дальности полета:

$L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Чтобы дальность полета $\text{L}$ была максимальной, необходимо, чтобы множитель $\sin(2\alpha)$ был максимальным, так как $v_0$ и $\text{g}$ — постоянные величины. Максимальное значение функции синус равно 1.

$\sin(2\alpha) = 1$

Это равенство достигается, когда аргумент синуса равен $90^\circ$.

$2\alpha = 90^\circ$

$\alpha = 45^\circ$

Следовательно, максимальная дальность полета достигается при угле бросания $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.