Номер 41, страница 46, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 4. Движение с ускорением свободного падения - номер 41, страница 46.

Условие.

41. Тело брошено под углом $30^\circ$ к горизонту с начальной скоростью $20 \text{ м/с}$.

а) На каком расстоянии от точки бросания (по горизонтали) будет находиться тело: через $1 \text{ с}$ после броска; через $2 \text{ с}$ после броска?

б) На какой высоте будет находиться тело через $1 \text{ с}$ после броска?

в) Через какой промежуток времени после броска координата $\text{y}$ тела станет снова равной нулю?

г) Какие выводы можно сделать из полученных результатов?

Решение 2.

Дано:

Начальная скорость $v_0 = 20$ м/с

Угол броска к горизонту $\alpha = 30°$

Моменты времени $t_1 = 1$ с, $t_2 = 2$ с

Ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с²

Все величины даны в Международной системе единиц (СИ), перевод не требуется.

Найти:

а) $x(t_1)$, $x(t_2)$ - ?

б) $y(t_1)$ - ?

в) $t_{полн}$ (время, при котором $y=0$) - ?

г) Сделать выводы из полученных результатов.

Решение:

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, рассматривается как сумма двух независимых движений: равномерного по горизонтали (ось Ох) и равноускоренного по вертикали (ось Оу) с ускорением $\text{g}$, направленным вниз. Начало координат поместим в точку броска.

Разложим начальную скорость $v_0$ на составляющие:

Горизонтальная составляющая: $v_{0x} = v_0 \cos(\alpha)$

Вертикальная составляющая: $v_{0y} = v_0 \sin(\alpha)$

Координаты тела в любой момент времени $\text{t}$ определяются уравнениями:

По горизонтали: $x(t) = v_0 \cos(\alpha) \cdot t$

По вертикали: $y(t) = v_0 \sin(\alpha) \cdot t - \frac{gt^2}{2}$

Вычислим числовые значения составляющих начальной скорости:

$v_{0x} = 20 \cdot \cos(30°) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \approx 17,32$ м/с

$v_{0y} = 20 \cdot \sin(30°) = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10$ м/с

а)

Найдем расстояние по горизонтали от точки бросания через 1 с и 2 с.

При $t_1 = 1$ с:

$x(1) = v_{0x} \cdot t_1 = 10\sqrt{3} \cdot 1 = 10\sqrt{3} \approx 17,3$ м.

При $t_2 = 2$ с:

$x(2) = v_{0x} \cdot t_2 = 10\sqrt{3} \cdot 2 = 20\sqrt{3} \approx 34,6$ м.

Ответ: Через 1 с тело будет находиться на расстоянии примерно 17,3 м по горизонтали, а через 2 с — на расстоянии примерно 34,6 м.

б)

Найдем высоту, на которой будет находиться тело через 1 с после броска.

При $t_1 = 1$ с:

$y(1) = v_{0y} \cdot t_1 - \frac{gt_1^2}{2} = 10 \cdot 1 - \frac{10 \cdot 1^2}{2} = 10 - 5 = 5$ м.

Ответ: Через 1 с тело будет находиться на высоте 5 м.

в)

Найдем промежуток времени, через который координата $\text{y}$ тела снова станет равной нулю. Это время является полным временем полета $t_{полн}$.

Приравняем уравнение для $y(t)$ к нулю:

$y(t) = v_{0y}t - \frac{gt^2}{2} = 0$

$t(v_{0y} - \frac{gt}{2}) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $t=0$ (момент броска) и $v_{0y} - \frac{gt}{2} = 0$. Нас интересует второе, ненулевое решение.

$t_{полн} = \frac{2v_{0y}}{g} = \frac{2 \cdot 10}{10} = 2$ с.

Ответ: Координата y тела станет снова равной нулю через 2 с после броска.

г)

Проанализируем полученные результаты:

1. Из пункта (в) мы узнали, что полное время полета тела до возвращения на исходную высоту составляет 2 с.

2. Время подъема тела на максимальную высоту $t_{подъема}$ можно найти из условия, что вертикальная составляющая скорости в верхней точке траектории равна нулю: $v_y = v_{0y} - gt = 0$. Отсюда $t_{подъема} = \frac{v_{0y}}{g} = \frac{10}{10} = 1$ с. Это ровно половина времени всего полета ($t_{полн} = 2 \cdot t_{подъема}$), что характерно для симметричной траектории.

3. Из пункта (б) мы знаем, что через 1 с тело находилось на высоте 5 м. Поскольку это время совпадает со временем подъема на максимальную высоту, то 5 м — это и есть максимальная высота, на которую поднялось тело.

4. Из пункта (а) мы видим, что за полное время полета (2 с) тело пролетело по горизонтали расстояние, равное примерно 34,6 м. Это расстояние является дальностью полета.

Ответ: На основе расчетов можно сделать вывод, что полное время полета тела составляет 2 секунды. За первую секунду тело достигает своей максимальной высоты в 5 метров, а за вторую секунду возвращается на землю, пролетев при этом по горизонтали расстояние около 34,6 метра.