Номер 37, страница 45, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 4. Движение с ускорением свободного падения - номер 37, страница 45.

Условие.

37. Уравнение траектории брошенного горизонтально тела в единицах СИ имеет вид $y = 45 - 0,05x^2$. Поставьте как можно больше вопросов по этой ситуации и найдите ответы на них.

Решение 2.

Дано:

Уравнение траектории: $y = 45 - 0,05x^2$

Все величины в системе СИ.

Ускорение свободного падения: $g \approx 10 \text{ м/с}^2$ (стандартное допущение)

Найти:

Различные физические характеристики движения тела.

Решение:

Движение тела, брошенного горизонтально, описывается системой уравнений:

$x(t) = v_0 t$

$y(t) = H - \frac{gt^2}{2}$

где $\text{H}$ – начальная высота, $v_0$ – начальная скорость. Исключив время $t = x/v_0$ из этих уравнений, получим общее уравнение траектории:

$y(x) = H - \frac{g}{2v_0^2}x^2$

Сравнивая это уравнение с данным в условии $y = 45 - 0,05x^2$, мы можем определить начальные параметры движения и ответить на ряд вопросов.

1. С какой высоты было брошено тело?

Начальная высота $\text{H}$ соответствует координате $\text{y}$ при $x=0$. Из сравнения общего уравнения траектории с данным уравнением видно, что свободный член равен начальной высоте.

$H = 45 \text{ м}$

Также можно подставить $x=0$ в заданное уравнение:

$y(0) = 45 - 0,05 \cdot 0^2 = 45 \text{ м}$

Ответ: Тело было брошено с высоты 45 м.

2. Какова начальная скорость тела?

Сравним коэффициенты при $x^2$ в общем и данном уравнениях:

$\frac{g}{2v_0^2} = 0,05$

Отсюда выразим начальную скорость $v_0$:

$v_0^2 = \frac{g}{2 \cdot 0,05} = \frac{g}{0,1} = 10g$

Подставляя $g = 10 \text{ м/с}^2$:

$v_0^2 = 10 \cdot 10 = 100 \text{ (м/с)}^2$

$v_0 = \sqrt{100} = 10 \text{ м/с}$

Ответ: Начальная скорость тела равна 10 м/с.

3. Каково время полета тела?

Полет заканчивается, когда тело достигает земли, то есть при $y=0$. Время полета $t_{пол}$ можно найти из уравнения для вертикальной координаты $y(t) = H - \frac{gt^2}{2}$:

$0 = 45 - \frac{10 \cdot t_{пол}^2}{2}$

$5t_{пол}^2 = 45$

$t_{пол}^2 = \frac{45}{5} = 9 \text{ с}^2$

$t_{пол} = 3 \text{ с}$

Ответ: Время полета тела составляет 3 с.

4. Какова дальность полета тела?

Дальность полета $\text{L}$ — это горизонтальное расстояние, которое тело пролетело за время полета. Его можно найти, подставив $y=0$ в уравнение траектории, или через формулу равномерного движения по горизонтали.

Способ 1: Из уравнения траектории.

$0 = 45 - 0,05L^2 \implies 0,05L^2 = 45 \implies L^2 = \frac{45}{0,05} = 900 \text{ м}^2 \implies L = 30 \text{ м}$

Способ 2: Из кинематики.

$L = v_0 \cdot t_{пол} = 10 \text{ м/с} \cdot 3 \text{ с} = 30 \text{ м}$

Ответ: Дальность полета тела равна 30 м.

5. Какова скорость тела в момент падения на землю?

Вектор скорости $\vec{v}$ имеет горизонтальную ($v_x$) и вертикальную ($v_y$) составляющие.

Горизонтальная составляющая постоянна: $v_x = v_0 = 10 \text{ м/с}$.

Вертикальная составляющая в момент падения ($t = t_{пол} = 3 \text{ с}$): $v_y = gt_{пол} = 10 \text{ м/с}^2 \cdot 3 \text{ с} = 30 \text{ м/с}$.

Модуль скорости (полная скорость) найдем по теореме Пифагора:

$v_{кон} = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{10^2 + 30^2} = \sqrt{100 + 900} = \sqrt{1000} = 10\sqrt{10} \approx 31,6 \text{ м/с}$

Ответ: Скорость тела в момент падения на землю составляет $10\sqrt{10}$ м/с (приблизительно 31,6 м/с).

6. Какой угол с горизонтом составляет вектор скорости тела в момент падения?

Угол $\alpha$, который вектор скорости составляет с горизонталью, можно найти через тангенс отношения модулей вертикальной и горизонтальной компонент скорости:

$\tan\alpha = \frac{|v_y|}{|v_x|} = \frac{30}{10} = 3$

$\alpha = \arctan(3) \approx 71,57^\circ$

Ответ: Вектор скорости в момент падения составляет с горизонтом угол $\arctan(3)$, что примерно равно 71,6°.

7. Каков радиус кривизны траектории в начальный момент и в момент падения?

Радиус кривизны траектории $\text{R}$ связан с нормальным ускорением $a_n$ и модулем скорости $\text{v}$ соотношением $a_n = \frac{v^2}{R}$.

В начальный момент ($t=0$): скорость $v=v_0=10 \text{ м/с}$ направлена горизонтально, а ускорение $\text{g}$ — вертикально. Значит, всё ускорение является нормальным: $a_n = g = 10 \text{ м/с}^2$.

$R_0 = \frac{v_0^2}{a_n} = \frac{10^2}{10} = 10 \text{ м}$

В момент падения ($t=3 \text{ с}$): скорость $v_{кон} = 10\sqrt{10} \text{ м/с}$. Нормальное ускорение — это составляющая ускорения $\text{g}$, перпендикулярная вектору скорости. $a_n = g \cos\alpha$, где $\alpha$ — угол между вектором скорости и горизонтом. Из предыдущего пункта $\tan\alpha=3$, тогда $\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$.

$a_n = 10 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} = \sqrt{10} \text{ м/с}^2$.

Тогда радиус кривизны в момент падения:

$R_{кон} = \frac{v_{кон}^2}{a_n} = \frac{(10\sqrt{10})^2}{\sqrt{10}} = \frac{1000}{\sqrt{10}} = 100\sqrt{10} \approx 316 \text{ м}$

Ответ: Радиус кривизны в начальный момент равен 10 м, в момент падения — $100\sqrt{10}$ м (приблизительно 316 м).