Номер 44, страница 46, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 4. Движение с ускорением свободного падения - номер 44, страница 46.

Условие.

44. Выразите время полёта тела (до падения на землю) че- рез $v_0$ и $\alpha$. Докажите, что время всего полёта в 2 раза больше времени подъёма тела до верхней точки траектории. Рис. 4.6

Решение 2.

Дано:

Начальная скорость тела: $v_0$

Угол броска к горизонту: $\alpha$

Найти:

1. Выразить время полёта $t_{пол}$ через $v_0$ и $\alpha$.

2. Доказать, что $t_{пол} = 2 \cdot t_{подъёма}$, где $t_{подъёма}$ — время подъёма до верхней точки.

Решение:

Рассмотрим движение тела в системе координат, где ось OX направлена горизонтально, а ось OY — вертикально вверх. Начало координат находится в точке броска. Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Движение тела можно разложить на два независимых движения:

1. По оси OX — равномерное движение со скоростью $v_x = v_{0x} = v_0 \cos(\alpha)$.

2. По оси OY — равноускоренное движение с начальной скоростью $v_{0y} = v_0 \sin(\alpha)$ и ускорением $a_y = -g$.

Уравнения для вертикальной координаты $\text{y}$ и вертикальной скорости $v_y$ в момент времени $\text{t}$ имеют вид:

$y(t) = v_{0y}t - \frac{gt^2}{2} = v_0 \sin(\alpha) t - \frac{gt^2}{2}$

$v_y(t) = v_{0y} - gt = v_0 \sin(\alpha) - gt$

Выразите время полёта тела (до падения на землю) через v₀ и α.

Полёт тела завершается, когда оно возвращается на начальную высоту, то есть падает на землю. В этот момент его вертикальная координата $\text{y}$ равна нулю. Обозначим это время как $t_{пол}$.

Подставим условие $y(t_{пол}) = 0$ в уравнение для координаты:

$v_0 \sin(\alpha) t_{пол} - \frac{gt_{пол}^2}{2} = 0$

Вынесем $t_{пол}$ за скобки:

$t_{пол} \left( v_0 \sin(\alpha) - \frac{gt_{пол}}{2} \right) = 0$

Данное уравнение имеет два корня: $t_1 = 0$, что соответствует начальному моменту времени (моменту броска), и $v_0 \sin(\alpha) - \frac{gt_{пол}}{2} = 0$, что соответствует моменту падения.

Из второго уравнения находим время полёта:

$\frac{gt_{пол}}{2} = v_0 \sin(\alpha)$

$t_{пол} = \frac{2v_0 \sin(\alpha)}{g}$

Ответ: Время полёта тела выражается формулой $t_{пол} = \frac{2v_0 \sin(\alpha)}{g}$.

Докажите, что время всего полёта в 2 раза больше времени подъёма тела до верхней точки траектории.

Время подъёма $t_{подъёма}$ — это промежуток времени от начала движения до достижения телом максимальной высоты. В верхней точке траектории вертикальная составляющая скорости тела становится равной нулю: $v_y(t_{подъёма}) = 0$.

Подставим это условие в уравнение для вертикальной скорости:

$v_0 \sin(\alpha) - gt_{подъёма} = 0$

Выразим отсюда время подъёма:

$gt_{подъёма} = v_0 \sin(\alpha)$

$t_{подъёма} = \frac{v_0 \sin(\alpha)}{g}$

Теперь сравним полученные выражения для полного времени полёта $t_{пол}$ и времени подъёма $t_{подъёма}$:

$t_{пол} = \frac{2v_0 \sin(\alpha)}{g}$

$t_{подъёма} = \frac{v_0 \sin(\alpha)}{g}$

Найдем их отношение:

$\frac{t_{пол}}{t_{подъёма}} = \frac{2v_0 \sin(\alpha)/g}{v_0 \sin(\alpha)/g} = 2$

Следовательно, $t_{пол} = 2 \cdot t_{подъёма}$. Это означает, что время подъёма на максимальную высоту равно времени падения с неё.

Ответ: Мы получили, что полное время полёта $t_{пол} = \frac{2v_0 \sin(\alpha)}{g}$, а время подъёма $t_{подъёма} = \frac{v_0 \sin(\alpha)}{g}$. Так как $t_{пол} = 2 \cdot t_{подъёма}$, доказано, что время всего полёта в 2 раза больше времени подъёма тела до верхней точки траектории.