Номер 49, страница 47, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 4. Движение с ускорением свободного падения - номер 49, страница 47.

Условие.

49. При каком угле бросания высота подъёма тела, брошенного под углом к горизонту с той же по модулю начальной скоростью, максимальна?

Решение 2.

Дано:

$v_0$ – начальная скорость тела;

$\alpha$ – угол бросания к горизонту;

$\text{g}$ – ускорение свободного падения.

Найти:

$\alpha$ – угол, при котором высота подъема $\text{H}$ максимальна.

Решение:

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно рассматривать как совокупность двух независимых движений: равномерного по горизонтали (ось OX) и равноускоренного по вертикали (ось OY) с ускорением свободного падения $\text{g}$, направленным вниз.

Разложим вектор начальной скорости $v_0$ на составляющие:

Горизонтальная составляющая: $v_{0x} = v_0 \cos(\alpha)$

Вертикальная составляющая: $v_{0y} = v_0 \sin(\alpha)$

Высота подъема тела определяется движением вдоль вертикальной оси. Зависимость вертикальной координаты $\text{y}$ от времени $\text{t}$ описывается уравнением:

$y(t) = v_{0y} t - \frac{gt^2}{2} = v_0 \sin(\alpha) t - \frac{gt^2}{2}$

Зависимость вертикальной составляющей скорости $v_y$ от времени $\text{t}$:

$v_y(t) = v_{0y} - gt = v_0 \sin(\alpha) - gt$

Максимальная высота подъема $\text{H}$ достигается в момент времени $t_{подъема}$, когда вертикальная составляющая скорости обращается в нуль ($v_y = 0$).

$0 = v_0 \sin(\alpha) - gt_{подъема}$

Из этого уравнения находим время подъема на максимальную высоту:

$t_{подъема} = \frac{v_0 \sin(\alpha)}{g}$

Теперь подставим найденное время $t_{подъема}$ в уравнение для координаты $y(t)$, чтобы определить максимальную высоту $\text{H}$:

$H = y(t_{подъема}) = v_0 \sin(\alpha) \cdot \left(\frac{v_0 \sin(\alpha)}{g}\right) - \frac{g}{2} \cdot \left(\frac{v_0 \sin(\alpha)}{g}\right)^2$

Упростим выражение:

$H = \frac{v_0^2 \sin^2(\alpha)}{g} - \frac{g}{2} \cdot \frac{v_0^2 \sin^2(\alpha)}{g^2} = \frac{v_0^2 \sin^2(\alpha)}{g} - \frac{v_0^2 \sin^2(\alpha)}{2g}$

Приводя к общему знаменателю, получаем конечную формулу для максимальной высоты подъема:

$H = \frac{v_0^2 \sin^2(\alpha)}{2g}$

В этой формуле начальная скорость $v_0$ и ускорение свободного падения $\text{g}$ являются постоянными величинами по условию задачи. Следовательно, высота $\text{H}$ зависит только от угла бросания $\alpha$.

Высота $\text{H}$ будет максимальной, когда множитель $\sin^2(\alpha)$ достигнет своего максимального значения. Максимальное значение функции синус равно 1, поэтому максимальное значение для $\sin^2(\alpha)$ также равно 1.

Условие максимальной высоты: $\sin^2(\alpha) = 1$, что эквивалентно $\sin(\alpha) = 1$.

Найдем угол $\alpha$, для которого выполняется это условие (в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$):

$\alpha = \arcsin(1) = 90^\circ$

Это означает, что для достижения максимальной высоты тело необходимо бросить вертикально вверх.

Ответ: Максимальная высота подъема достигается при угле бросания $90^\circ$ к горизонту.