Номер 46, страница 46, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 4. Движение с ускорением свободного падения - номер 46, страница 46.

Условие.

46. Футболист ударил по мячу, придав ему начальную скорость 20 м/с. Мяч упал на землю на расстоянии 34,6 м от начального положения.

a) Под каким углом к горизонту могла быть направлена начальная скорость мяча?

б) Какой вывод следует из того, что в этой задаче есть два ответа?

Решение 2.

Дано:

$v_0 = 20$ м/с

$L = 34.6$ м

$g \approx 9.8$ м/с²

Найти:

a) $\alpha_1, \alpha_2$

б) Сделать вывод

Решение:

a) Под каким углом к горизонту могла быть направлена начальная скорость мяча?

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно рассматривать как совокупность двух независимых движений: равномерного по горизонтали (ось Ox) и равноускоренного по вертикали (ось Oy). Начальная скорость $v_0$ раскладывается на составляющие:

$v_{0x} = v_0 \cos(\alpha)$

$v_{0y} = v_0 \sin(\alpha)$

Координаты мяча в любой момент времени $\text{t}$ описываются уравнениями:

$x(t) = v_{0x} \cdot t = v_0 \cos(\alpha) \cdot t$

$y(t) = v_{0y} \cdot t - \frac{gt^2}{2} = v_0 \sin(\alpha) \cdot t - \frac{gt^2}{2}$

Время полета $\text{T}$ можно найти, приравняв вертикальную координату $y(t)$ к нулю (момент падения на землю):

$v_0 \sin(\alpha) \cdot T - \frac{gT^2}{2} = 0$

$T \cdot (v_0 \sin(\alpha) - \frac{gT}{2}) = 0$

Отсюда полное время полета (исключая начальный момент $T=0$) равно:

$T = \frac{2v_0 \sin(\alpha)}{g}$

Дальность полета $\text{L}$ — это горизонтальное расстояние, пройденное мячом за время $\text{T}$:

$L = x(T) = v_0 \cos(\alpha) \cdot T = v_0 \cos(\alpha) \cdot \frac{2v_0 \sin(\alpha)}{g} = \frac{v_0^2 \cdot 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{g}$

Используя тригонометрическую формулу двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$, получаем выражение для дальности полета:

$L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Выразим из этой формулы $\sin(2\alpha)$, чтобы найти угол $\alpha$:

$\sin(2\alpha) = \frac{L \cdot g}{v_0^2}$

Подставим известные значения из условия задачи:

$\sin(2\alpha) = \frac{34.6 \text{ м} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2}{(20 \text{ м/с})^2} = \frac{339.08}{400} \approx 0.848$

Уравнение $\sin(2\alpha) \approx 0.848$ имеет два решения для $2\alpha$ в интервале от $0^\circ$ до $180^\circ$.

Первое решение:

$2\alpha_1 = \arcsin(0.848) \approx 58^\circ$

$\alpha_1 \approx \frac{58^\circ}{2} = 29^\circ$

Второе решение, используя свойство синуса $\sin(x) = \sin(180^\circ - x)$:

$2\alpha_2 = 180^\circ - 2\alpha_1 \approx 180^\circ - 58^\circ = 122^\circ$

$\alpha_2 \approx \frac{122^\circ}{2} = 61^\circ$

Ответ: Начальная скорость мяча могла быть направлена под углом $29^\circ$ или $61^\circ$ к горизонту.

б) Какой вывод следует из того, что в этой задаче есть два ответа?

Наличие двух решений для угла $\alpha$ является следствием свойств тригонометрических функций в формуле для дальности полета $L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$.

При фиксированной начальной скорости $v_0$ и дальности полета $\text{L}$ (которая должна быть меньше максимально возможной), уравнение $\sin(2\alpha) = \frac{Lg}{v_0^2}$ для $2\alpha$ в диапазоне $(0^\circ, 180^\circ)$ всегда будет иметь два решения, если только $\sin(2\alpha)$ не равно 1.

Если одно решение для угла $2\alpha$ равно $\text{x}$, то второе решение равно $180^\circ - x$.

Следовательно, для углов броска $\alpha$ мы имеем:

$\alpha_1 = \frac{x}{2}$

$\alpha_2 = \frac{180^\circ - x}{2} = 90^\circ - \frac{x}{2} = 90^\circ - \alpha_1$

Это означает, что два угла, $\alpha_1$ и $\alpha_2$, которые дают одинаковую дальность полета, являются взаимодополняющими, то есть их сумма равна $90^\circ$ ($\alpha_1 + \alpha_2 = 90^\circ$).

Вывод: одну и ту же дальность полета при одинаковой начальной скорости можно получить при двух разных углах броска, сумма которых равна $90^\circ$. Исключением является случай максимальной дальности полета, которая достигается при угле $45^\circ$ — здесь решение единственное, так как $90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Ответ: Вывод состоит в том, что при заданной начальной скорости одну и ту же дальность полета (меньшую максимальной) можно получить при двух разных углах бросания, которые в сумме составляют $90^\circ$.