Номер 45, страница 46, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 4. Движение с ускорением свободного падения - номер 45, страница 46.

Условие.

45. Выразите дальность $\text{l}$ полёта тела через $v_0$ и $\alpha$.

Решение 2.

Дано:

Начальная скорость тела: $v_0$
Угол броска к горизонту: $\alpha$

Найти:

Дальность полёта $\text{l}$.

Решение:

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно рассматривать как сумму двух независимых движений: равномерного прямолинейного движения вдоль горизонтальной оси (Ox) и равноускоренного движения вдоль вертикальной оси (Oy) с ускорением свободного падения $\text{g}$, направленным вниз. Будем пренебрегать сопротивлением воздуха.

Разложим вектор начальной скорости $v_0$ на составляющие по осям координат:

Горизонтальная составляющая скорости (проекция на ось Ox): $v_{0x} = v_0 \cos\alpha$. Эта скорость остаётся постоянной в течение всего полёта.

Вертикальная составляющая скорости (проекция на ось Oy): $v_{0y} = v_0 \sin\alpha$.

Запишем кинематические уравнения движения для координат тела в зависимости от времени $\text{t}$:

По оси Ox: $x(t) = v_{0x} t = (v_0 \cos\alpha) t$

По оси Oy: $y(t) = v_{0y} t - \frac{gt^2}{2} = (v_0 \sin\alpha) t - \frac{gt^2}{2}$

Дальность полёта $\text{l}$ – это горизонтальное расстояние, которое пролетит тело за всё время полёта $\text{T}$. Полное время полёта – это время, по истечении которого тело вернется на начальную высоту, то есть когда его вертикальная координата $y(T)$ снова будет равна нулю.

Найдем время полёта $\text{T}$ из уравнения для $y(t)$, приравняв его к нулю:

$y(T) = (v_0 \sin\alpha) T - \frac{gT^2}{2} = 0$

Вынесем $\text{T}$ за скобки:

$T \left( v_0 \sin\alpha - \frac{gT}{2} \right) = 0$

Данное уравнение имеет два корня. Первый корень $T_1 = 0$ соответствует начальному моменту времени. Второй корень находится из выражения в скобках и соответствует моменту падения тела:

$v_0 \sin\alpha - \frac{gT}{2} = 0$

$T = \frac{2 v_0 \sin\alpha}{g}$

Теперь, зная полное время полёта $\text{T}$, можно найти дальность полёта $\text{l}$, подставив это значение в уравнение для координаты $x(t)$:

$l = x(T) = (v_0 \cos\alpha) T = (v_0 \cos\alpha) \left( \frac{2 v_0 \sin\alpha}{g} \right)$

$l = \frac{v_0^2 (2 \sin\alpha \cos\alpha)}{g}$

Применим тригонометрическую формулу синуса двойного угла: $ \sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha $.

В результате получаем окончательную формулу для дальности полёта:

$l = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Ответ: $l = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$