Номер 54, страница 48, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 4. Движение с ускорением свободного падения - номер 54, страница 48.

Условие.

54. Как связаны углы бросания $\alpha_1$ и $\alpha_2$, для которых дальность полёта тела одинакова при одинаковом модуле начальной скорости?

Решение 2.

Дано:

$R_1$ - дальность полета тела, брошенного под углом $\alpha_1$.

$R_2$ - дальность полета тела, брошенного под углом $\alpha_2$.

$v_0$ - модуль начальной скорости (одинаков в обоих случаях).

$R_1 = R_2$.

$\alpha_1 \neq \alpha_2$.

Найти:

Связь между углами $\alpha_1$ и $\alpha_2$.

Решение:

Дальность полета тела, брошенного под углом $\alpha$ к горизонту с начальной скоростью $v_0$ (при пренебрежении сопротивлением воздуха), вычисляется по формуле:

$R = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

где $\text{g}$ — ускорение свободного падения.

Согласно условию задачи, дальность полета $\text{R}$ одинакова для двух углов $\alpha_1$ и $\alpha_2$ при одинаковой начальной скорости $v_0$. Обозначим дальности как $R_1$ и $R_2$.

$R_1 = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha_1)}{g}$

$R_2 = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha_2)}{g}$

Так как по условию $R_1 = R_2$, мы можем приравнять правые части выражений:

$\frac{v_0^2 \sin(2\alpha_1)}{g} = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha_2)}{g}$

Умножим обе части уравнения на $\frac{g}{v_0^2}$ (поскольку $v_0 \neq 0$ и $g \neq 0$), чтобы упростить его:

$\sin(2\alpha_1) = \sin(2\alpha_2)$

Это тригонометрическое уравнение имеет два основных семейства решений. Поскольку углы бросания находятся в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$, аргумент $2\alpha$ находится в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$.

1. Тривиальное решение: $2\alpha_1 = 2\alpha_2$, что означает $\alpha_1 = \alpha_2$. Это решение не соответствует условию, так как мы ищем связь для разных углов.

2. Нетривиальное решение, основанное на тригонометрическом тождестве $\sin(\theta) = \sin(180^\circ - \theta)$ (или в радианах $\sin(\theta) = \sin(\pi - \theta)$). Применим его к нашему уравнению:

$2\alpha_1 = 180^\circ - 2\alpha_2$

Перенесем член $-2\alpha_2$ в левую часть уравнения:

$2\alpha_1 + 2\alpha_2 = 180^\circ$

Разделим обе части на 2:

$\alpha_1 + \alpha_2 = 90^\circ$

Это и есть искомая связь между углами. Дальность полета тела будет одинакова для двух разных углов бросания, если их сумма составляет $90^\circ$ (то есть они являются дополнительными друг к другу). Например, дальность полета при угле $30^\circ$ будет такой же, как при угле $60^\circ$.

Ответ: Дальность полета тела одинакова для двух углов бросания $\alpha_1$ и $\alpha_2$ при одинаковом модуле начальной скорости, если сумма этих углов равна $90^\circ$, то есть $\alpha_1 + \alpha_2 = 90^\circ$ (или $\alpha_1 + \alpha_2 = \frac{\pi}{2}$ в радианах).