Номер 56, страница 49, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 4. Движение с ускорением свободного падения - номер 56, страница 49.

Условие.

56. Дальность полёта $\text{l}$ двух тел, брошенных под различными углами к горизонту с одинаковой по модулю начальной скоростью, оказалась одинаковой. Один угол бросания в 2 раза больше другого.

a) Во сколько раз минимальная скорость одного тела во время полёта больше минимальной скорости другого?

б) Во сколько раз время полёта одного тела больше, чем время полёта другого?

в) Во сколько раз высота подъёма одного тела больше, чем высота подъёма другого?

Решение 2.

Дано:

Дальность полёта двух тел одинакова: $l_1 = l_2$

Начальные скорости тел по модулю одинаковы: $v_{01} = v_{02} = v_0$

Углы бросания: $\alpha_1$ и $\alpha_2$

Один угол в 2 раза больше другого: $\alpha_2 = 2\alpha_1$

Найти:

а) $\frac{v_{min, >}}{v_{min, <}}$ — отношение большей минимальной скорости к меньшей.

б) $\frac{t_{>}}{t_{<}}$ — отношение большего времени полёта к меньшему.

в) $\frac{H_{>}}{H_{<}}$ — отношение большей высоты подъёма к меньшей.

Решение:

Дальность полёта тела, брошенного под углом $\alpha$ к горизонту с начальной скоростью $v_0$, определяется формулой (без учёта сопротивления воздуха):

$l = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

По условию задачи, дальности полёта двух тел равны, а начальные скорости одинаковы:

$l_1 = l_2 \implies \frac{v_0^2 \sin(2\alpha_1)}{g} = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha_2)}{g}$

Отсюда следует, что $\sin(2\alpha_1) = \sin(2\alpha_2)$.

Это равенство для разных углов $\alpha_1$ и $\alpha_2$ (в диапазоне от 0 до 90°) выполняется при условии, что $2\alpha_1 + 2\alpha_2 = 180^\circ$, или $\alpha_1 + \alpha_2 = 90^\circ$.

Используем второе условие из дано: $\alpha_2 = 2\alpha_1$. Подставим его в полученное соотношение:

$\alpha_1 + 2\alpha_1 = 90^\circ$

$3\alpha_1 = 90^\circ$

$\alpha_1 = 30^\circ$

Тогда второй угол:

$\alpha_2 = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$

Теперь, зная углы бросания, можем ответить на вопросы задачи.

а) Во сколько раз минимальная скорость одного тела во время полёта больше минимальной скорости другого?

Минимальная скорость тела во время полёта достигается в высшей точке траектории и равна горизонтальной составляющей начальной скорости, так как вертикальная составляющая в этой точке равна нулю. Горизонтальная составляющая скорости остаётся постоянной в течение всего полёта.

$v_{min} = v_x = v_0 \cos(\alpha)$

Для первого тела (с углом $\alpha_1 = 30^\circ$):

$v_{min1} = v_0 \cos(30^\circ) = v_0 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Для второго тела (с углом $\alpha_2 = 60^\circ$):

$v_{min2} = v_0 \cos(60^\circ) = v_0 \frac{1}{2}$

Сравнивая скорости, видим, что $v_{min1} > v_{min2}$. Найдём их отношение:

$\frac{v_{min1}}{v_{min2}} = \frac{v_0 \frac{\sqrt{3}}{2}}{v_0 \frac{1}{2}} = \sqrt{3} \approx 1,73$

Ответ: Минимальная скорость одного тела больше минимальной скорости другого в $\sqrt{3}$ раза (примерно в 1,73 раза).

б) Во сколько раз время полёта одного тела больше, чем время полёта другого?

Время полёта тела определяется формулой:

$t = \frac{2v_0 \sin(\alpha)}{g}$

Для первого тела (с углом $\alpha_1 = 30^\circ$):

$t_1 = \frac{2v_0 \sin(30^\circ)}{g} = \frac{2v_0 \cdot (1/2)}{g} = \frac{v_0}{g}$

Для второго тела (с углом $\alpha_2 = 60^\circ$):

$t_2 = \frac{2v_0 \sin(60^\circ)}{g} = \frac{2v_0 \cdot (\sqrt{3}/2)}{g} = \frac{v_0\sqrt{3}}{g}$

Сравнивая времена полёта, видим, что $t_2 > t_1$. Найдём их отношение:

$\frac{t_2}{t_1} = \frac{v_0\sqrt{3}/g}{v_0/g} = \sqrt{3} \approx 1,73$

Ответ: Время полёта одного тела больше времени полёта другого в $\sqrt{3}$ раз (примерно в 1,73 раза).

в) Во сколько раз высота подъёма одного тела больше, чем высота подъёма другого?

Максимальная высота подъёма тела определяется формулой:

$H = \frac{v_0^2 \sin^2(\alpha)}{2g}$

Для первого тела (с углом $\alpha_1 = 30^\circ$):

$H_1 = \frac{v_0^2 \sin^2(30^\circ)}{2g} = \frac{v_0^2 (1/2)^2}{2g} = \frac{v_0^2}{8g}$

Для второго тела (с углом $\alpha_2 = 60^\circ$):

$H_2 = \frac{v_0^2 \sin^2(60^\circ)}{2g} = \frac{v_0^2 (\sqrt{3}/2)^2}{2g} = \frac{v_0^2 \cdot (3/4)}{2g} = \frac{3v_0^2}{8g}$

Сравнивая высоты подъёма, видим, что $H_2 > H_1$. Найдём их отношение:

$\frac{H_2}{H_1} = \frac{3v_0^2 / (8g)}{v_0^2 / (8g)} = 3$

Ответ: Высота подъёма одного тела больше высоты подъёма другого в 3 раза.