Номер 22, страница 142, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Электростатика и постоянный электрический ток. Глава VIII. Постоянный электрический ток. Параграф 40. Закон Ома для участка цепи - номер 22, страница 142.

Условие.

22. Докажите, что общее сопротивление $\text{R}$ двух параллельно соединённых проводников связано с их сопротивлениями $R_1$ и $R_2$ соотношением

$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$

Решение 2.

22. Решение

Рассмотрим участок электрической цепи, состоящий из двух проводников с сопротивлениями $R_1$ и $R_2$, которые соединены параллельно. Пусть к этому участку приложено напряжение $\text{U}$.

При параллельном соединении проводников напряжение на каждом из них одинаково и равно общему напряжению на всем участке:

$U_1 = U_2 = U$

Согласно закону Ома для участка цепи, сила тока, протекающего через первый проводник, равна $I_1$, а через второй — $I_2$:

$I_1 = \frac{U_1}{R_1} = \frac{U}{R_1}$

$I_2 = \frac{U_2}{R_2} = \frac{U}{R_2}$

Общая сила тока $\text{I}$ в цепи до и после разветвления, согласно закону сохранения электрического заряда (первое правило Кирхгофа), равна сумме сил токов в параллельных ветвях:

$I = I_1 + I_2$

Подставим в это равенство выражения для $I_1$ и $I_2$:

$I = \frac{U}{R_1} + \frac{U}{R_2}$

Вынесем общий множитель $\text{U}$ за скобки:

$I = U \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

С другой стороны, по определению общего (эквивалентного) сопротивления $\text{R}$ данного участка цепи, общая сила тока $\text{I}$ выражается через общее напряжение $\text{U}$ и общее сопротивление $\text{R}$ по закону Ома:

$I = \frac{U}{R}$

Приравнивая два полученных выражения для общей силы тока $\text{I}$, получаем:

$\frac{U}{R} = U \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

Поскольку в цепи течет ток ($I > 0$), напряжение $\text{U}$ отлично от нуля, и мы можем разделить обе части уравнения на $\text{U}$:

$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$

Это и есть искомое соотношение.

Ответ: Что и требовалось доказать.