Номер 54, страница 148, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Электростатика и постоянный электрический ток. Глава VIII. Постоянный электрический ток. Параграф 40. Закон Ома для участка цепи - номер 54, страница 148.

Условие.

54. Первый резистор сопротивлением 4 Ом подключают к источнику постоянного напряжения, один раз последовательно со вторым резистором, а другой раз — параллельно с ним. Сила тока в одном из опытов в 6,25 раза больше, чем в другом.

а) При каком соединении резисторов сила тока в цепи больше?

б) Чему равно сопротивление второго резистора?

Решение 2.

Дано:

Сопротивление первого резистора $R_1 = 4$ Ом.

Отношение силы тока в одном опыте к силе тока в другом $k = \frac{I_{max}}{I_{min}} = 6,25$.

Найти:

а) При каком соединении резисторов сила тока в цепи больше?

б) Чему равно сопротивление второго резистора $R_2$?

Решение:

а)

Сила тока в цепи определяется законом Ома: $I = \frac{U}{R_{общ}}$, где $\text{U}$ – напряжение источника, а $R_{общ}$ – общее сопротивление цепи. Так как напряжение источника постоянно, сила тока обратно пропорциональна общему сопротивлению. Следовательно, сила тока будет больше в том случае, когда общее сопротивление цепи меньше.

Рассмотрим два вида соединения:

1. При последовательном соединении общее сопротивление равно сумме сопротивлений:

$R_{сер} = R_1 + R_2$

2. При параллельном соединении общее сопротивление вычисляется по формуле:

$\frac{1}{R_{пар}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \Rightarrow R_{пар} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$

Поскольку сопротивления $R_1$ и $R_2$ – величины положительные, всегда выполняется неравенство $R_1 + R_2 > \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$, то есть $R_{сер} > R_{пар}$.

Так как общее сопротивление при параллельном соединении меньше, чем при последовательном, сила тока в цепи при параллельном соединении будет больше.

Ответ: Сила тока в цепи больше при параллельном соединении резисторов.

б)

Из пункта (а) следует, что максимальная сила тока $I_{max}$ наблюдается при параллельном соединении ($I_{пар}$), а минимальная $I_{min}$ – при последовательном ($I_{сер}$). По условию задачи:

$\frac{I_{пар}}{I_{сер}} = 6,25$

Используя закон Ома и формулы для общего сопротивления, запишем выражения для сил тока:

$I_{пар} = \frac{U}{R_{пар}} = \frac{U (R_1 + R_2)}{R_1 R_2}$

$I_{сер} = \frac{U}{R_{сер}} = \frac{U}{R_1 + R_2}$

Найдем их отношение:

$\frac{I_{пар}}{I_{сер}} = \frac{\frac{U (R_1 + R_2)}{R_1 R_2}}{\frac{U}{R_1 + R_2}} = \frac{(R_1 + R_2)^2}{R_1 R_2}$

Подставим известные значения $R_1 = 4$ Ом и отношение токов:

$\frac{(4 + R_2)^2}{4 R_2} = 6,25$

Решим полученное уравнение относительно $R_2$:

$(4 + R_2)^2 = 6,25 \cdot 4 R_2$

$(4 + R_2)^2 = 25 R_2$

$16 + 8R_2 + R_2^2 = 25R_2$

$R_2^2 - 17R_2 + 16 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта или по теореме Виета. По теореме Виета, сумма корней равна 17, а их произведение равно 16. Этим условиям удовлетворяют числа 1 и 16.

$R_{2,1} = 1$ Ом

$R_{2,2} = 16$ Ом

Оба значения являются физически возможными, следовательно, задача имеет два решения.

Ответ: Сопротивление второго резистора равно 1 Ом или 16 Ом.