Номер 56, страница 148, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Электростатика и постоянный электрический ток. Глава VIII. Постоянный электрический ток. Параграф 40. Закон Ома для участка цепи - номер 56, страница 148.

Условие.

56. Последовательно соединённые резисторы 1 и 2 подключены к источнику постоянного напряжения. После того, как параллельно резистору 1 подключили резистор 3, напряжение на резисторе 1 уменьшилось в 3 раза, а сила тока в резисторе 2 увеличилась в 3 раза. Чему равно отношение сопротивлений резисторов 1 и 2?

Решение 2.

Дано:

$U_{1, \text{конечное}} = \frac{U_{1, \text{начальное}}}{3}$
$I_{2, \text{конечное}} = 3 \cdot I_{2, \text{начальное}}$
$U = \text{const}$

Найти:

$\frac{R_1}{R_2}$

Решение:

Обозначим сопротивления резисторов как $R_1$, $R_2$ и $R_3$. Напряжение источника - $\text{U}$.

1. Рассмотрим начальное состояние, когда резисторы 1 и 2 соединены последовательно. Через них протекает одинаковый ток, который мы обозначим как $\text{I}$.
$I_{1, \text{начальное}} = I_{2, \text{начальное}} = I$
Напряжение на первом резисторе, согласно закону Ома, равно:
$U_{1, \text{начальное}} = I \cdot R_1$
Общее напряжение в цепи, по закону Ома для полной цепи (без учета внутреннего сопротивления источника), равно:
$U = I \cdot (R_1 + R_2)$ (1)

2. Рассмотрим конечное состояние, когда к резистору 1 параллельно подключили резистор 3. Блок из параллельно соединенных резисторов 1 и 3 соединен последовательно с резистором 2.
По условию, сила тока в резисторе 2 увеличилась в 3 раза. Новый ток через резистор 2 будет:
$I_{2, \text{конечное}} = 3 \cdot I_{2, \text{начальное}} = 3I$
Этот ток является общим для всей цепи в конечном состоянии.
Напряжение на первом резисторе, по условию, уменьшилось в 3 раза:
$U_{1, \text{конечное}} = \frac{U_{1, \text{начальное}}}{3} = \frac{I \cdot R_1}{3}$
Напряжение на втором резисторе в конечном состоянии:
$U_{2, \text{конечное}} = I_{2, \text{конечное}} \cdot R_2 = 3I \cdot R_2$
Общее напряжение $\text{U}$ (которое не изменилось) равно сумме напряжений на последовательных участках: на блоке параллельных резисторов (его напряжение равно $U_{1, \text{конечное}}$) и на резисторе 2.
$U = U_{1, \text{конечное}} + U_{2, \text{конечное}} = \frac{I \cdot R_1}{3} + 3I \cdot R_2$ (2)

3. Теперь приравняем выражения для общего напряжения $\text{U}$ из уравнений (1) и (2):
$I \cdot (R_1 + R_2) = \frac{I \cdot R_1}{3} + 3I \cdot R_2$
Сократим обе части уравнения на $\text{I}$ (так как $I \neq 0$):
$R_1 + R_2 = \frac{R_1}{3} + 3R_2$
Сгруппируем слагаемые, содержащие $R_1$ и $R_2$:
$R_1 - \frac{R_1}{3} = 3R_2 - R_2$
$\frac{2}{3}R_1 = 2R_2$
Разделим обе части на 2:
$\frac{1}{3}R_1 = R_2$
Отсюда выразим искомое отношение:
$\frac{R_1}{R_2} = 3$

Ответ: 3.