Номер 4, страница 176 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Громцева

13.10. Формула тонкой линзы. 13.10.1. Действительное изображение в собирающей линзе. 13. Оптика - номер 4, страница 176.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Расстояние от предмета до экрана $L = 90$ см

Оптическая сила линзы $D = 5$ дптр

Перевод в систему СИ:

$L = 0.9$ м

Найти:

Расстояние от предмета до линзы $d$

Решение:

Для получения четкого изображения на экране необходимо, чтобы выполнялась формула тонкой линзы. Обозначим искомое расстояние от предмета до линзы как $d$, а расстояние от линзы до изображения (экрана) как $f'$.

Сумма этих расстояний равна заданному расстоянию от предмета до экрана $L$:

$d + f' = L$

Формула тонкой линзы связывает эти расстояния с фокусным расстоянием $F$:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f'} = \frac{1}{F}$

Оптическая сила линзы $D$ связана с фокусным расстоянием (выраженным в метрах) соотношением:

$D = \frac{1}{F}$

Таким образом, формулу тонкой линзы можно записать через оптическую силу, если все расстояния выражены в метрах:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f'} = D$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $d$ и $f'$:

$\begin{cases} d + f' = L \\ \frac{1}{d} + \frac{1}{f'} = D \end{cases}$

Подставим известные значения, выраженные в системе СИ: $L = 0.9$ м и $D = 5$ дптр.

$\begin{cases} d + f' = 0.9 \\ \frac{1}{d} + \frac{1}{f'} = 5 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $f'$:

$f' = 0.9 - d$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{0.9 - d} = 5$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{(0.9 - d) + d}{d(0.9 - d)} = 5$

$\frac{0.9}{0.9d - d^2} = 5$

Избавимся от знаменателя, умножив обе части на $0.9d - d^2$:

$0.9 = 5(0.9d - d^2)$

$0.9 = 4.5d - 5d^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$5d^2 - 4.5d + 0.9 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Сначала найдем дискриминант $\Delta$:

$\Delta = b^2 - 4ac = (-4.5)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 0.9 = 20.25 - 18 = 2.25$

Так как дискриминант положительный ($\Delta > 0$), уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле:

$d = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-4.5) \pm \sqrt{2.25}}{2 \cdot 5} = \frac{4.5 \pm 1.5}{10}$

Вычисляем оба корня:

Первый корень: $d_1 = \frac{4.5 + 1.5}{10} = \frac{6}{10} = 0.6$ м.

Второй корень: $d_2 = \frac{4.5 - 1.5}{10} = \frac{3}{10} = 0.3$ м.

Оба решения являются физически возможными. Это означает, что существуют два положения линзы между предметом и экраном, при которых на экране будет формироваться четкое изображение. Эти расстояния от предмета до линзы равны 0.6 м и 0.3 м.

Переведем полученные значения в сантиметры:

$d_1 = 0.6 \text{ м} = 60 \text{ см}$

$d_2 = 0.3 \text{ м} = 30 \text{ см}$

Ответ: линзу следует расположить на расстоянии 30 см или 60 см от предмета.