Номер 2, страница 190 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Громцева

14.12. Закон радиоактивного распада. 14. Квантовая физика - номер 2, страница 190.

Решение.

Решение 2.

В условии задачи, по-видимому, допущена опечатка. В первом предложении указан период полураспада радия (1600 лет), а во втором задан вопрос о радоне. Период полураспада наиболее стабильного изотопа радона составляет 3,8 суток. Учитывая числовые данные, решение будет приведено для радия, период полураспада которого указан в условии.

Дано:

Период полураспада радия, $T_{1/2} = 1600$ лет.

Уменьшение массы, $\frac{m_0}{m} = 4$, где $m_0$ — начальная масса, $m$ — конечная масса.

Найти:

Время $t$, за которое масса уменьшится в 4 раза.

Решение:

Закон радиоактивного распада связывает массу нераспавшегося вещества $m$ с начальной массой $m_0$, временем распада $t$ и периодом полураспада $T_{1/2}$ следующей формулой: $$ m = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}} $$

Из этой формулы можно выразить отношение начальной массы к конечной: $$ \frac{m_0}{m} = \frac{m_0}{m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}} = \frac{1}{2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}} = 2^{\frac{t}{T_{1/2}}} $$

По условию задачи, масса вещества уменьшилась в 4 раза, то есть $\frac{m_0}{m} = 4$. Подставим это значение в полученное уравнение: $$ 4 = 2^{\frac{t}{T_{1/2}}} $$

Представим число 4 в виде степени с основанием 2: $4 = 2^2$. Тогда уравнение примет вид: $$ 2^2 = 2^{\frac{t}{T_{1/2}}} $$

Поскольку основания степеней в левой и правой частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели: $$ 2 = \frac{t}{T_{1/2}} $$

Отсюда выражаем искомое время $t$: $$ t = 2 \cdot T_{1/2} $$

Теперь подставим числовое значение периода полураспада радия: $$ t = 2 \cdot 1600 \text{ лет} = 3200 \text{ лет} $$

Эту задачу можно решить и с помощью логических рассуждений. Период полураспада — это время, за которое количество радиоактивного вещества уменьшается вдвое.

• Через один период полураспада ($1600$ лет) масса радия уменьшится в 2 раза и составит $\frac{1}{2}$ от начальной.
• Через еще один период полураспада (т.е. по прошествии $1600 + 1600 = 3200$ лет) масса снова уменьшится в 2 раза и составит $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ от начальной.

Следовательно, для уменьшения массы в 4 раза необходимо, чтобы прошло два периода полураспада.

Ответ: масса радиоактивного радия уменьшится в 4 раза через 3200 лет.