Вариант 3, страница 54 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-3. Свободное падение. Баллистическое движение - страница 54.

Условие.

Вариант 3

1. Какова высота здания, если капля падала с крыши в течение 5 с?

2. Камень брошен под углом 30° к горизонту со скоростью 10 м/с. Определите время полета камня.

Решение.

1. Какова высота здания, если капля падала с крыши в течение 5 с?

Дано:

Время падения, $t = 5$ с
Начальная скорость, $v_0 = 0$ м/с (капля начинает падать из состояния покоя)
Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с²

Найти:

Высоту здания, $\text{h}$ - ?

Решение:

Движение капли — это свободное падение, которое является частным случаем равноускоренного движения. Высота, с которой падает тело, определяется по формуле:

$h = v_0 t + \frac{gt^2}{2}$

Так как капля начинает падение из состояния покоя, ее начальная скорость $v_0 = 0$. Тогда формула упрощается:

$h = \frac{gt^2}{2}$

Подставим в формулу известные значения:

$h = \frac{9.8 \, \text{м/с²} \cdot (5 \, \text{с})^2}{2} = \frac{9.8 \, \text{м/с²} \cdot 25 \, \text{с²}}{2} = \frac{245 \, \text{м}}{2} = 122.5$ м

Ответ: высота здания составляет 122.5 м.

2. Камень брошен под углом 30° к горизонту со скоростью 10 м/с. Определите время полета камня.

Дано:

Начальная скорость, $v_0 = 10$ м/с
Угол броска к горизонту, $\alpha = 30°$
Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с²

Найти:

Время полета камня, $t_{пол}$ - ?

Решение:

Время полета тела, брошенного под углом к горизонту, можно определить, рассмотрев его движение по вертикальной оси. Полет длится с момента броска до момента возвращения тела на начальную высоту.

Вертикальная составляющая начальной скорости определяется как $v_{0y} = v_0 \sin(\alpha)$.

Зависимость высоты подъема $\text{y}$ от времени $\text{t}$ описывается уравнением:

$y(t) = v_{0y} t - \frac{gt^2}{2} = v_0 \sin(\alpha) t - \frac{gt^2}{2}$

В конце полета камень вернется на землю, то есть его высота $\text{y}$ снова станет равна нулю. Приравняем уравнение к нулю, чтобы найти полное время полета $t_{пол}$:

$v_0 \sin(\alpha) t_{пол} - \frac{gt_{пол}^2}{2} = 0$

Вынесем $t_{пол}$ за скобки:

$t_{пол} \left( v_0 \sin(\alpha) - \frac{gt_{пол}}{2} \right) = 0$

Данное уравнение имеет два корня: $t = 0$ (начальный момент времени) и корень, который мы находим из выражения в скобках:

$v_0 \sin(\alpha) - \frac{gt_{пол}}{2} = 0$

Отсюда выражаем время полета:

$t_{пол} = \frac{2v_0 \sin(\alpha)}{g}$

Подставим числовые значения, зная, что $\sin(30°) = 0.5$:

$t_{пол} = \frac{2 \cdot 10 \, \text{м/с} \cdot 0.5}{9.8 \, \text{м/с²}} = \frac{10 \, \text{м/с}}{9.8 \, \text{м/с²}} \approx 1.02$ с

Ответ: время полета камня составляет примерно 1.02 с.