Вариант 2, страница 55 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-4. Кинематика периодического движения - страница 55.

Условие.

Вариант 3

1. При равномерном движении по окружности радиусом 10 см тело совершает 30 оборотов в минуту. Определите центростремительное ускорение.

2. Какова скорость точек на поверхности Земли на широте 45°? Радиус Земли равен 6400 км.

Решение.

1. При равномерном движении по окружности радиусом 10 см тело совершает 30 оборотов в минуту. Определите центростремительное ускорение.

Дано:

Радиус окружности, $R = 10 \text{ см}$
Число оборотов, $N = 30$
Время, $t = 1 \text{ мин}$

Перевод в систему СИ:
$R = 0.1 \text{ м}$
$t = 60 \text{ с}$

Найти:

Центростремительное ускорение, $a_c$

Решение:

Центростремительное ускорение $a_c$ при движении по окружности определяется формулой:

$a_c = \omega^2 R$

где $\omega$ — угловая скорость, а $\text{R}$ — радиус окружности.

Сначала найдем частоту вращения $\text{f}$ как отношение числа оборотов $\text{N}$ ко времени $\text{t}$:

$f = \frac{N}{t}$

Подставим известные значения:

$f = \frac{30}{60 \text{ с}} = 0.5 \text{ Гц}$

Угловая скорость $\omega$ связана с частотой $\text{f}$ соотношением:

$\omega = 2\pi f$

Подставим значение частоты:

$\omega = 2\pi \cdot 0.5 \text{ Гц} = \pi \text{ рад/с}$

Теперь можем рассчитать центростремительное ускорение:

$a_c = \omega^2 R = (\pi \text{ рад/с})^2 \cdot 0.1 \text{ м} = 0.1\pi^2 \text{ м/с}^2$

Для получения численного значения используем приближенное значение $\pi \approx 3.1416$:

$a_c \approx 0.1 \cdot (3.1416)^2 \approx 0.1 \cdot 9.8696 \approx 0.987 \text{ м/с}^2$

Ответ: центростремительное ускорение равно $0.1\pi^2 \text{ м/с}^2$, что приблизительно составляет $0.987 \text{ м/с}^2$.

2. Какова скорость точек на поверхности Земли на широте 45°? Радиус Земли равен 6400 км.

Дано:

Широта, $\phi = 45^\circ$
Радиус Земли, $R_З = 6400 \text{ км}$
Период вращения Земли, $T = 24 \text{ ч}$

Перевод в систему СИ:
$R_З = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$
$T = 24 \cdot 60 \cdot 60 \text{ с} = 86400 \text{ с}$

Найти:

Линейная скорость, $\text{v}$

Решение:

Точки на поверхности Земли участвуют в ее суточном вращении. Они движутся по окружностям в плоскостях, перпендикулярных оси вращения Земли. Радиус $\text{r}$ такой окружности для точки, находящейся на широте $\phi$, зависит от радиуса Земли $R_З$ и определяется по формуле:

$r = R_З \cos(\phi)$

Линейная скорость $\text{v}$ точки на этой окружности связана с угловой скоростью вращения Земли $\omega$ и радиусом $\text{r}$ соотношением:

$v = \omega r = \omega R_З \cos(\phi)$

Угловую скорость $\omega$ найдем через период вращения $\text{T}$:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Объединив формулы, получим выражение для линейной скорости:

$v = \frac{2\pi R_З \cos(\phi)}{T}$

Подставим известные значения, учитывая, что $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$v = \frac{2\pi \cdot 6.4 \cdot 10^6 \text{ м} \cdot \cos(45^\circ)}{86400 \text{ с}} = \frac{2\pi \cdot 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}}{86400 \text{ с}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Проведем вычисления, используя $\pi \approx 3.1416$ и $\sqrt{2} \approx 1.4142$:

$v \approx \frac{2 \cdot 3.1416 \cdot 6.4 \cdot 10^6 \cdot 1.4142}{86400 \cdot 2} \approx \frac{56868843}{172800} \approx 329.1 \text{ м/с}$

Ответ: скорость точек на поверхности Земли на широте 45° приблизительно равна $329.1 \text{ м/с}$.