Вариант 3, страница 57 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-6. Силы в механике - страница 57.

Условие.

Вариант 3

1. Пружина длиной $l_0 = 20$ см растягивается силой $F = 5$ Н. Какова конечная длина растянутой пружины, если ее жесткость $k = 250$ Н/м?

2. Каков период обращения искусственного спутника, движущегося на высоте 300 км над поверхностью Земли?

Решение.

1. Дано:

Начальная длина пружины $l_0 = 20 \text{ см}$
Растягивающая сила $F = 5 \text{ Н}$
Жесткость пружины $k = 250 \text{ Н/м}$

Переведем данные в систему СИ:
$l_0 = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$

Найти:
Конечная длина пружины $\text{l}$.

Решение:
При растяжении пружины возникает сила упругости, которая описывается законом Гука. Величина этой силы равна по модулю приложенной силе $\text{F}$:
$F = k \cdot \Delta l$
где $\Delta l$ – удлинение пружины.
Выразим из этой формулы удлинение $\Delta l$:
$\Delta l = \frac{F}{k}$
Подставим числовые значения:
$\Delta l = \frac{5 \text{ Н}}{250 \text{ Н/м}} = 0.02 \text{ м}$
Конечная длина растянутой пружины $\text{l}$ складывается из ее начальной длины $l_0$ и удлинения $\Delta l$:
$l = l_0 + \Delta l$
$l = 0.2 \text{ м} + 0.02 \text{ м} = 0.22 \text{ м}$
Также можно выразить результат в сантиметрах: $0.22 \text{ м} = 22 \text{ см}$.

Ответ: конечная длина растянутой пружины составляет $0.22 \text{ м}$ (или $22 \text{ см}$).

2. Дано:

Высота спутника над поверхностью Земли $h = 300 \text{ км}$
Справочные данные:
Гравитационная постоянная $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$
Масса Земли $M_E \approx 5.97 \cdot 10^{24} \text{ кг}$
Средний радиус Земли $R_E \approx 6.37 \cdot 10^6 \text{ м}$ (6370 км)

Переведем данные в систему СИ:
$h = 300 \text{ км} = 300 \cdot 10^3 \text{ м} = 3 \cdot 10^5 \text{ м}$

Найти:
Период обращения спутника $\text{T}$.

Решение:
Спутник движется по круговой орбите. Сила всемирного тяготения, действующая на спутник со стороны Земли, является центростремительной силой. По второму закону Ньютона:
$F_g = m a_c$
где $F_g$ - гравитационная сила, $\text{m}$ - масса спутника, $a_c$ - центростремительное ускорение.
Сила тяготения определяется выражением: $F_g = G \frac{M_E m}{r^2}$, а центростремительное ускорение: $a_c = \frac{v^2}{r}$.
Здесь $\text{v}$ - скорость спутника, а $\text{r}$ - радиус его орбиты, который равен сумме радиуса Земли и высоты полета: $r = R_E + h$.
Приравняем выражения:
$G \frac{M_E m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$
Из этого уравнения можно найти орбитальную скорость спутника:
$v = \sqrt{\frac{G M_E}{r}}$
Период обращения $\text{T}$ - это время одного полного оборота по орбите. Он равен отношению длины орбиты $2 \pi r$ к скорости $\text{v}$:
$T = \frac{2 \pi r}{v} = \frac{2 \pi r}{\sqrt{\frac{G M_E}{r}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{G M_E}}$
Рассчитаем радиус орбиты:
$r = R_E + h = 6.37 \cdot 10^6 \text{ м} + 3 \cdot 10^5 \text{ м} = 6.67 \cdot 10^6 \text{ м}$
Подставим числовые значения в формулу для периода:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{(6.67 \cdot 10^6 \text{ м})^3}{6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot 5.97 \cdot 10^{24} \text{ кг}}} \approx 2 \pi \sqrt{\frac{2.964 \cdot 10^{20}}{3.982 \cdot 10^{14}}} \text{ с}$
$T \approx 2 \pi \sqrt{0.744 \cdot 10^6} \text{ с} \approx 2 \cdot 3.1416 \cdot 862.8 \text{ с} \approx 5421 \text{ с}$
Переведем секунды в минуты: $T \approx \frac{5421}{60} \approx 90.35 \text{ мин}$. Это примерно $90$ минут и $21$ секунда.

Ответ: период обращения спутника составляет примерно $5421$ секунду, или $90.35$ минут.