Вариант 4, страница 57 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

СР-6. Силы в механике. Самостоятельные работы - страница 57.

Условие.

Вариант 4

1. Среднее расстояние между центрами Земли и Луны равно 60 земным радиусам, а масса Луны в 81 раз меньше массы Земли. В какой точке отрезка, соединяющего центры Земли и Луны, тело будет притягиваться ими с одинаковой силой?

2. Деревянный брусок массой 2 кг тянут равномерно по деревянной доске, расположенной горизонтально, с помощью пружины жесткостью 100 Н/м. Коэффициент трения равен 0,3. Найдите удлинение пружины.

Решение.

1. Решение:

Обозначим массу Земли как $M_З$, массу Луны как $M_Л$, а массу некоторого тела как $\text{m}$. Расстояние между центрами Земли и Луны обозначим как $\text{R}$. По условию, $\text{R}$ равно 60 земным радиусам ($R_З$), а масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, то есть $M_Л = \frac{M_З}{81}$.

Пусть искомая точка находится на расстоянии $\text{x}$ от центра Земли на отрезке, соединяющем центры Земли и Луны. Тогда расстояние от этой точки до центра Луны будет равно $R - x$.

Согласно закону всемирного тяготения, сила притяжения тела к Земле $F_З$ и к Луне $F_Л$ вычисляются по формулам:

$F_З = G \frac{M_З m}{x^2}$

$F_Л = G \frac{M_Л m}{(R-x)^2}$

По условию задачи, эти силы должны быть равны: $F_З = F_Л$.

$G \frac{M_З m}{x^2} = G \frac{M_Л m}{(R-x)^2}$

Сократив гравитационную постоянную $\text{G}$ и массу тела $\text{m}$, получим:

$\frac{M_З}{x^2} = \frac{M_Л}{(R-x)^2}$

Подставим известное соотношение масс $M_Л = M_З / 81$:

$\frac{M_З}{x^2} = \frac{M_З / 81}{(R-x)^2}$

Сократим $M_З$:

$\frac{1}{x^2} = \frac{1}{81(R-x)^2}$

Отсюда $x^2 = 81(R-x)^2$. Извлекая квадратный корень из обеих частей (учитывая, что расстояния $\text{x}$ и $R-x$ положительны, так как точка находится между телами), получаем:

$x = 9(R-x)$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $\text{x}$:

$x = 9R - 9x$

$10x = 9R$

$x = \frac{9}{10}R$

Теперь подставим значение $R = 60 R_З$:

$x = \frac{9}{10} \cdot (60 R_З) = 9 \cdot 6 R_З = 54 R_З$.

Ответ: В точке, расположенной на расстоянии 54 земных радиусов от центра Земли.

2. Дано:

$m = 2$ кг; $k = 100$ Н/м; $\mu = 0,3$.

Найти:

$\Delta l$.

Решение:

Так как деревянный брусок тянут равномерно, его ускорение равно нулю ($a=0$). Согласно первому закону Ньютона, это означает, что векторная сумма всех сил, действующих на брусок, равна нулю.

Рассмотрим силы, действующие на брусок. В горизонтальном направлении на него действуют сила упругости пружины $F_{упр}$ и сила трения скольжения $F_{тр}$. Так как движение равномерное, эти силы уравновешивают друг друга:

$F_{упр} = F_{тр}$

Сила упругости определяется законом Гука: $F_{упр} = k \cdot \Delta l$, где $\text{k}$ — жесткость пружины, а $\Delta l$ — ее удлинение.

Сила трения скольжения вычисляется по формуле: $F_{тр} = \mu \cdot N$, где $\mu$ — коэффициент трения, а $\text{N}$ — сила нормальной реакции опоры.

В вертикальном направлении на брусок действуют сила тяжести $F_т = mg$ и сила нормальной реакции опоры $\text{N}$. Поскольку брусок не движется по вертикали, эти силы равны по модулю:

$N = F_т = mg$

Подставим выражение для силы нормальной реакции в формулу силы трения:

$F_{тр} = \mu mg$

Приравнивая силу упругости и силу трения, получаем уравнение:

$k \cdot \Delta l = \mu mg$

Выразим из этого уравнения искомое удлинение пружины $\Delta l$:

$\Delta l = \frac{\mu mg}{k}$

Подставим числовые значения в формулу. Примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с²:

$\Delta l = \frac{0,3 \cdot 2 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2}{100 \text{ Н/м}} = \frac{6 \text{ Н}}{100 \text{ Н/м}} = 0,06$ м.

Ответ: 0,06 м (или 6 см).