Вариант 5, страница 59 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-7. Применение законов Ньютона - страница 59.

Условие.

Вариант 5

1. Два тела массами 1 и 3 кг соединены нитью, перекинутой через блок. Трением в блоке и его массой пренебречь. Определите ускорение тел при движении.

2. Ящик массой 60 кг начинают перемещать по горизонтальной поверхности с ускорением $1 \text{ м/с}^2$, действуя на него с постоянной силой, направленной под углом $30^\circ$ к горизонту. Определите силу, с которой тянут ящик, если коэффициент трения скольжения равен 0,2.

Решение.

1. Дано:

$m_1 = 1$ кг

$m_2 = 3$ кг

$g \approx 9.8$ м/с² (ускорение свободного падения)

Найти:

$\text{a}$ - ?

Решение:

Данная система тел называется машиной Атвуда. На каждое тело действуют две силы: сила тяжести, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити, направленная вертикально вверх. Так как масса блока и трение в нем пренебрежимо малы, сила натяжения нити $\text{T}$ одинакова по всей ее длине, а ускорение тел $\text{a}$ одинаково по модулю.

Поскольку $m_2 > m_1$, тело массой $m_2$ будет двигаться вниз, а тело массой $m_1$ — вверх. Запишем второй закон Ньютона для каждого тела в проекции на вертикальную ось. Для удобства направим ось для тела $m_1$ вверх, а для тела $m_2$ — вниз (по направлению их ускорений).

Для тела $m_1$: $T - m_1g = m_1a$

Для тела $m_2$: $m_2g - T = m_2a$

Мы получили систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными ($\text{a}$ и $\text{T}$). Чтобы найти ускорение $\text{a}$, сложим эти два уравнения:

$(T - m_1g) + (m_2g - T) = m_1a + m_2a$

Силы натяжения $\text{T}$ сокращаются:

$m_2g - m_1g = (m_1 + m_2)a$

Отсюда выражаем ускорение $\text{a}$:

$a = \frac{(m_2 - m_1)g}{m_1 + m_2}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$a = \frac{(3 \text{ кг} - 1 \text{ кг}) \cdot 9.8 \text{ м/с²}}{3 \text{ кг} + 1 \text{ кг}} = \frac{2 \cdot 9.8}{4} = \frac{19.6}{4} = 4.9$ м/с².

Ответ: ускорение тел равно $4.9$ м/с².

2. Дано:

$m = 60$ кг

$a = 1$ м/с²

$\alpha = 30°$

$\mu = 0.2$

$g \approx 9.8$ м/с²

Найти:

$\text{F}$ - ?

Решение:

На ящик действуют четыре силы: сила тяжести $m\vec{g}$, сила реакции опоры $\vec{N}$, сила трения скольжения $\vec{F}_{тр}$ и приложенная сила $\vec{F}$.

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме: $\vec{F} + m\vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{тр} = m\vec{a}$.

Выберем систему координат: ось $OX$ направим горизонтально по направлению движения, а ось $OY$ — вертикально вверх. Запишем уравнения в проекциях на эти оси:

Проекция на ось $OX$: $F \cos(\alpha) - F_{тр} = ma$

Проекция на ось $OY$: $N + F \sin(\alpha) - mg = 0$

Сила трения скольжения определяется формулой $F_{тр} = \mu N$.

Из уравнения для оси $OY$ выразим силу реакции опоры $\text{N}$:

$N = mg - F \sin(\alpha)$

Как видно, вертикальная составляющая силы $\text{F}$ уменьшает силу нормального давления, а следовательно, и силу трения.

Подставим выражение для $\text{N}$ в формулу для силы трения:

$F_{тр} = \mu (mg - F \sin(\alpha))$

Теперь подставим полученное выражение для силы трения в уравнение для оси $OX$:

$F \cos(\alpha) - \mu (mg - F \sin(\alpha)) = ma$

Это уравнение содержит одну неизвестную величину $\text{F}$. Решим его относительно $\text{F}$.

$F \cos(\alpha) - \mu mg + \mu F \sin(\alpha) = ma$

$F \cos(\alpha) + \mu F \sin(\alpha) = ma + \mu mg$

$F(\cos(\alpha) + \mu \sin(\alpha)) = m(a + \mu g)$

Отсюда находим искомую силу $\text{F}$:

$F = \frac{m(a + \mu g)}{\cos(\alpha) + \mu \sin(\alpha)}$

Подставим числовые значения:

$F = \frac{60 \cdot (1 + 0.2 \cdot 9.8)}{\cos(30°) + 0.2 \cdot \sin(30°)} = \frac{60 \cdot (1 + 1.96)}{\frac{\sqrt{3}}{2} + 0.2 \cdot \frac{1}{2}} \approx \frac{60 \cdot 2.96}{0.866 + 0.1} = \frac{177.6}{0.966} \approx 183.85$ Н.

Округлим результат до целого значения.

Ответ: сила, с которой тянут ящик, равна примерно $184$ Н.