Вариант 4, страница 59 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

СР-7. Применение законов Ньютона. Самостоятельные работы - страница 59.

Условие.

Вариант 4

1. Через блок, массой которого можно пренебречь, перекинута нить, к концам которой подвешены две гири массами 2 и 6 кг. Найдите силу натяжения нити при движении гирь.

2. Равноускоренный подъем тела массой 75 кг на высоту 15 м продолжался 3 с. Определите вес груза при подъеме.

Решение.

1. Дано:

$m_1 = 2$ кг

$m_2 = 6$ кг

$g \approx 10$ м/с² (ускорение свободного падения)

Найти:

$\text{T}$ - ?

Решение:

Поскольку масса блока и трение в нём пренебрежимо малы, а нить нерастяжима, то грузы будут двигаться с одинаковым по модулю ускорением $\text{a}$. Так как $m_2 > m_1$, груз массой $m_2$ будет опускаться, а груз массой $m_1$ — подниматься. Сила натяжения нити $\text{T}$ будет одинакова по всей длине.

Запишем второй закон Ньютона для каждого тела в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

1. Для первого груза (массой $m_1$, движется вверх):

На него действуют сила натяжения нити $\text{T}$ (вверх) и сила тяжести $m_1g$ (вниз). Равнодействующая сила $F_1 = T - m_1g$ сообщает ему ускорение $\text{a}$, направленное вверх.

$T - m_1g = m_1a$

2. Для второго груза (массой $m_2$, движется вниз):

На него действуют сила натяжения нити $\text{T}$ (вверх) и сила тяжести $m_2g$ (вниз). Равнодействующая сила $F_2 = m_2g - T$ сообщает ему ускорение $\text{a}$, направленное вниз.

$m_2g - T = m_2a$

Мы получили систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными ($\text{a}$ и $\text{T}$):

$\begin{cases} T - m_1g = m_1a \\ m_2g - T = m_2a \end{cases}$

Сложим эти два уравнения, чтобы исключить $\text{T}$ и найти ускорение $\text{a}$:

$(T - m_1g) + (m_2g - T) = m_1a + m_2a$

$m_2g - m_1g = (m_1 + m_2)a$

$g(m_2 - m_1) = (m_1 + m_2)a$

$a = g \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}$

Подставим числовые значения:

$a = 10 \cdot \frac{6 - 2}{2 + 6} = 10 \cdot \frac{4}{8} = 10 \cdot 0.5 = 5$ м/с².

Теперь, зная ускорение, найдем силу натяжения нити $\text{T}$ из первого уравнения:

$T = m_1a + m_1g = m_1(a + g)$

$T = 2 \cdot (5 + 10) = 2 \cdot 15 = 30$ Н.

Проверим результат, используя второе уравнение:

$T = m_2g - m_2a = m_2(g - a)$

$T = 6 \cdot (10 - 5) = 6 \cdot 5 = 30$ Н.

Результаты совпадают.

Ответ: 30 Н.

2. Дано:

$m = 75$ кг

$h = 15$ м

$t = 3$ с

$g \approx 10$ м/с²

Найти:

$\text{P}$ - ?

Решение:

Подъем равноускоренный, это означает, что тело движется с постоянным ускорением. Начальная скорость тела равна нулю ($v_0 = 0$).

Сначала найдем ускорение тела $\text{a}$, используя формулу для высоты (пути) при равноускоренном движении:

$h = v_0t + \frac{at^2}{2}$

Поскольку $v_0 = 0$, формула упрощается:

$h = \frac{at^2}{2}$

Выразим из этой формулы ускорение $\text{a}$:

$a = \frac{2h}{t^2}$

Подставим числовые значения:

$a = \frac{2 \cdot 15 \text{ м}}{(3 \text{ с})^2} = \frac{30}{9} = \frac{10}{3}$ м/с².

Вес тела ($\text{P}$) — это сила, с которой тело действует на опору или подвес. При движении тела с ускорением $\text{a}$, направленным вверх, его вес больше силы тяжести. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сила, приложенная к телу, равна $F_{подъема} - mg = ma$. Отсюда сила, с которой тело поднимают, $F_{подъема} = m(g + a)$. По третьему закону Ньютона, вес тела $\text{P}$ равен по модулю этой силе.

$P = m(g + a)$

Подставим известные значения и рассчитаем вес:

$P = 75 \cdot (10 + \frac{10}{3}) = 75 \cdot (\frac{30}{3} + \frac{10}{3}) = 75 \cdot \frac{40}{3}$

$P = \frac{75}{3} \cdot 40 = 25 \cdot 40 = 1000$ Н.

Ответ: 1000 Н.