Вариант 3, страница 59 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

СР-7. Применение законов Ньютона. Самостоятельные работы - страница 59.

Условие.

Вариант 3

1. Собака начинает тянуть санки с ребенком массой 25 кг с постоянной силой 150 Н, направленной горизонтально. Какое расстояние проедут санки за 10 с, если коэффициент трения полозьев санок о снег равен 0,5?

2. На наклонной плоскости длиной 13 м и высотой 5 м лежит груз массой 26 кг. Коэффициент трения равен 0,5. Какую силу надо приложить к грузу вдоль плоскости, чтобы стащить груз?

Решение.

1. Дано:

$m = 25 \, кг$
$F = 150 \, Н$
$t = 10 \, с$
$μ = 0,5$
$v_0 = 0 \, м/с$ (санки начинают движение из состояния покоя)

Все данные представлены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

$\text{s}$ — расстояние, которое проедут санки.

Решение:

На санки действуют четыре силы: сила тяги $\text{F}$, сила трения $F_{тр}$, сила тяжести $mg$ и сила реакции опоры $\text{N}$.
Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:
$m\vec{a} = \vec{F} + \vec{F}_{тр} + m\vec{g} + \vec{N}$
Выберем систему координат: ось OX направим горизонтально по направлению движения, а ось OY — вертикально вверх.
Спроецируем уравнение на оси координат:
Проекция на ось OY: $N - mg = 0$, так как по вертикали движения нет. Отсюда сила реакции опоры равна $N = mg$.
Проекция на ось OX: $F - F_{тр} = ma$.
Сила трения скольжения определяется по формуле $F_{тр} = μN$. Подставив выражение для $\text{N}$, получим: $F_{тр} = μmg$.
Теперь подставим силу трения в уравнение для оси OX:
$ma = F - μmg$
Выразим ускорение $\text{a}$:
$a = \frac{F - μmg}{m}$
Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \, м/с^2$.
Рассчитаем ускорение санок:
$a = \frac{150 \, Н - 0,5 \cdot 25 \, кг \cdot 10 \, м/с^2}{25 \, кг} = \frac{150 - 125}{25} = \frac{25}{25} = 1 \, м/с^2$
Поскольку санки начинают движение из состояния покоя ($v_0 = 0$) и движутся с постоянным ускорением, расстояние, пройденное ими за время $\text{t}$, можно найти по формуле:
$s = v_0t + \frac{at^2}{2} = 0 \cdot 10 + \frac{1 \cdot (10)^2}{2} = \frac{100}{2} = 50 \, м$

Ответ: санки проедут расстояние 50 м.

2. Дано:

$L = 13 \, м$
$h = 5 \, м$
$m = 26 \, кг$
$μ = 0,5$

Все данные представлены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

$\text{F}$ — сила, которую надо приложить, чтобы стащить груз.

Решение:

Слово "стащить" означает тянуть груз вниз по наклонной плоскости. Рассмотрим силы, действующие на груз: сила тяжести $mg$, сила реакции опоры $\text{N}$, сила трения $F_{тр}$ и приложенная сила $\text{F}$.
Выберем систему координат: ось OX направим вдоль наклонной плоскости вниз, а ось OY — перпендикулярно ей вверх.
Найдем синус и косинус угла наклона плоскости $\alpha$:
$\sin\alpha = \frac{h}{L} = \frac{5}{13}$
По основному тригонометрическому тождеству найдем косинус:
$\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$
Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат. Условие "чтобы стащить" означает, что нужно приложить минимальную силу для начала движения. Это соответствует состоянию, когда сумма сил, направленных вниз по плоскости, равна максимальной силе трения покоя, направленной вверх.
Проекция на ось OY: $N - mg\cos\alpha = 0$, откуда $N = mg\cos\alpha$.
Сила трения: $F_{тр} = μN = μmg\cos\alpha$.
Проекция на ось OX: Приложенная сила $\text{F}$ и скатывающая компонента силы тяжести $mg\sin\alpha$ направлены вниз по оси OX. Сила трения $F_{тр}$ направлена против движения, то есть вверх.
Условие начала движения: $F + mg\sin\alpha = F_{тр}$.
Выразим искомую силу $\text{F}$:
$F = F_{тр} - mg\sin\alpha = μmg\cos\alpha - mg\sin\alpha = mg(μ\cos\alpha - \sin\alpha)$
Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \, м/с^2$.
Подставим числовые значения:
$F = 26 \, кг \cdot 10 \, м/с^2 \cdot (0,5 \cdot \frac{12}{13} - \frac{5}{13}) = 260 \cdot (\frac{6}{13} - \frac{5}{13}) = 260 \cdot \frac{1}{13} = 20 \, Н$
Поскольку сила $F > 0$, это означает, что силы трения покоя было достаточно, чтобы удержать груз от сползания, и для его движения вниз действительно нужно приложить дополнительную силу.

Ответ: чтобы стащить груз, надо приложить силу 20 Н.