Вариант 2, страница 62 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

СР-10. Потенциальная и кинетическая энергия. Закон сохранения энергии. Самостоятельные работы - страница 62.

Условие.

Вариант 3

1. Длина недеформированной пружины равна 15 см. В результате деформации ее длина удвоилась. Какой запас энергии получила пружина, если ее жесткость 400 Н/м?

2. С какой начальной скоростью надо бросить вниз мяч с высоты 2 м, чтобы он подпрыгнул на высоту 4 м?

Решение.

1. Дано:

$l_0 = 15 \text{ см}$

$k = 400 \text{ Н/м}$

Длина пружины удвоилась, т.е. $l = 2l_0$.

Перевод в систему СИ: $l_0 = 15 \text{ см} = 0,15 \text{ м}$.

Найти:

$E_p - ?$

Решение:

Потенциальная энергия упруго деформированной пружины определяется по формуле:

$E_p = \frac{k (\Delta x)^2}{2}$

где $\text{k}$ – жесткость пружины, а $\Delta x$ – ее удлинение (величина деформации).

Удлинение пружины равно разности ее конечной и начальной длины:

$\Delta x = l - l_0$

По условию задачи, конечная длина пружины в два раза больше начальной: $l = 2l_0$.

Следовательно, удлинение пружины равно ее начальной длине:

$\Delta x = 2l_0 - l_0 = l_0 = 0,15 \text{ м}$

Теперь подставим известные значения в формулу для потенциальной энергии:

$E_p = \frac{400 \text{ Н/м} \cdot (0,15 \text{ м})^2}{2} = \frac{400 \cdot 0,0225}{2} = 200 \cdot 0,0225 = 4,5 \text{ Дж}$

Ответ: 4,5 Дж.

2. Дано:

$h_1 = 2 \text{ м}$

$h_2 = 4 \text{ м}$

$g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$v_0 - ?$

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии. Примем, что сопротивление воздуха отсутствует, а удар мяча о землю является абсолютно упругим, то есть механическая энергия системы сохраняется на протяжении всего процесса.

Полная механическая энергия мяча в начальный момент времени (на высоте $h_1$ с начальной скоростью $v_0$) равна сумме его кинетической и потенциальной энергий:

$E_1 = E_{k1} + E_{p1} = \frac{m v_0^2}{2} + m g h_1$

где $\text{m}$ – масса мяча.

В конечный момент времени, когда мяч подпрыгнул на максимальную высоту $h_2$, его скорость равна нулю, поэтому его кинетическая энергия также равна нулю. Полная механическая энергия в этот момент равна его потенциальной энергии:

$E_2 = E_{k2} + E_{p2} = 0 + m g h_2 = m g h_2$

Согласно закону сохранения энергии, полная начальная энергия равна полной конечной энергии: $E_1 = E_2$.

$\frac{m v_0^2}{2} + m g h_1 = m g h_2$

Сократим массу мяча $\text{m}$ в обеих частях уравнения:

$\frac{v_0^2}{2} + g h_1 = g h_2$

Теперь выразим из этого уравнения начальную скорость $v_0$:

$\frac{v_0^2}{2} = g h_2 - g h_1 = g(h_2 - h_1)$

$v_0^2 = 2g(h_2 - h_1)$

$v_0 = \sqrt{2g(h_2 - h_1)}$

Подставим числовые значения, используя стандартное значение ускорения свободного падения $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$:

$v_0 = \sqrt{2 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot (4 \text{ м} - 2 \text{ м})} = \sqrt{2 \cdot 9,8 \cdot 2} = \sqrt{39,2} \approx 6,26 \text{ м/с}$

Ответ: ≈ 6,26 м/с.