Вариант 1, страница 63 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-11. Абсолютно неупругое и абсолютно упругое столкновение - страница 63.

Условие.

СР-11. Абсолютно неупругое и абсолютно упругое столкновение

Вариант 1

1. Шары массой 5 и 1 кг движутся навстречу друг другу со скоростями 5 м/с. После центрального абсолютно упругого удара шары движутся в одном направлении, причем скорость первого шара равна 2 м/с. Найдите скорость второго шара после удара.

2. Два неупругих шара массами 1 и 0,5 кг движутся навстречу друг другу со скоростями 5 и 4 м/с. Какова будет их скорость после столкновения?

Решение.

1. Дано:

Масса первого шара $m_1 = 5$ кг
Масса второго шара $m_2 = 1$ кг
Начальная скорость первого шара $v_1 = 5$ м/с
Начальная скорость второго шара $v_2 = 5$ м/с (навстречу первому)
Скорость первого шара после удара $u_1 = 2$ м/с
Столкновение абсолютно упругое.

Найти:

Скорость второго шара после удара $u_2$ - ?

Решение:

При абсолютно упругом столкновении должны выполняться одновременно два закона: закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии. Выберем ось OX, направленную по начальной скорости первого шара. Тогда проекции скоростей на эту ось до столкновения: $v_{1x} = 5$ м/с и $v_{2x} = -5$ м/с. По условию, после удара шары движутся в одном направлении. Скорость первого шара $u_1 = 2$ м/с. Предположим, что это направление совпадает с положительным направлением оси OX, то есть $u_{1x} = 2$ м/с.

Сначала используем закон сохранения импульса для нахождения скорости второго шара. В проекции на ось OX он имеет вид:

$m_1 v_{1x} + m_2 v_{2x} = m_1 u_{1x} + m_2 u_{2x}$

Подставим известные значения:

$5 \cdot 5 + 1 \cdot (-5) = 5 \cdot 2 + 1 \cdot u_{2x}$

$25 - 5 = 10 + u_{2x}$

$20 = 10 + u_{2x}$

$u_{2x} = 10$ м/с.

Так как $u_{2x} > 0$, второй шар после удара движется в том же направлении, что и первый, что соответствует условию задачи. Теперь необходимо проверить, выполняется ли при таких скоростях закон сохранения кинетической энергии, так как столкновение заявлено как абсолютно упругое.

Кинетическая энергия системы до столкновения:

$E_{k, до} = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{5 \cdot 5^2}{2} + \frac{1 \cdot 5^2}{2} = \frac{125}{2} + \frac{25}{2} = \frac{150}{2} = 75$ Дж.

Кинетическая энергия системы после столкновения:

$E_{k, после} = \frac{m_1 u_1^2}{2} + \frac{m_2 u_2^2}{2} = \frac{5 \cdot 2^2}{2} + \frac{1 \cdot 10^2}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} + \frac{100}{2} = \frac{20 + 100}{2} = 60$ Дж.

Поскольку $E_{k, до} \neq E_{k, после}$ ($75$ Дж $\neq 60$ Дж), закон сохранения кинетической энергии не выполняется. Это означает, что в условии задачи содержится противоречие: столкновение с заданными параметрами не может быть абсолютно упругим. Однако, если требуется дать ответ, основываясь на законе сохранения импульса (который выполняется при любых столкновениях в замкнутой системе), то скорость второго шара будет 10 м/с.

Ответ: скорость второго шара после удара равна 10 м/с.

2. Дано:

Масса первого шара $m_1 = 1$ кг
Масса второго шара $m_2 = 0,5$ кг
Начальная скорость первого шара $v_1 = 5$ м/с
Начальная скорость второго шара $v_2 = 4$ м/с (навстречу первому)
Столкновение неупругое.

Найти:

Скорость шаров после столкновения $\text{u}$ - ?

Решение:

Данный тип столкновения является абсолютно неупругим, так как шары неупругие и требуется найти их общую скорость после столкновения. Это означает, что после удара оба шара движутся как единое целое. При абсолютно неупругом ударе выполняется закон сохранения импульса, но не выполняется закон сохранения кинетической энергии.

Направим ось OX в сторону начального движения первого шара. В проекциях на эту ось начальные скорости шаров равны $v_{1x} = 5$ м/с и $v_{2x} = -4$ м/с (так как второй шар движется навстречу).

Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось OX:

$m_1 v_{1x} + m_2 v_{2x} = (m_1 + m_2) u_x$

Подставим известные значения в уравнение:

$1 \cdot 5 + 0,5 \cdot (-4) = (1 + 0,5) \cdot u_x$

$5 - 2 = 1,5 \cdot u_x$

$3 = 1,5 \cdot u_x$

$u_x = \frac{3}{1,5} = 2$ м/с.

Так как скорость $u_x$ положительна, то после столкновения шары будут двигаться вместе в том же направлении, в котором двигался первый шар до столкновения.

Ответ: скорость шаров после столкновения будет 2 м/с.