Вариант 4, страница 64 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

СР-11. Абсолютно неупругое и абсолютно упругое столкновение. Самостоятельные работы - страница 64.

Условие.

Вариант 4

1. Шар массой $10 \text{ кг}$ катится по горизонтальной поверхности со скоростью $2 \text{ м/с}$ и сталкивается с другим шаром, движущимся ему навстречу со скоростью $1 \text{ м/с}$. В результате абсолютно неупругого столкновения шары остановились. Какова масса второго шара?

2. Шар массой $1 \text{ кг}$, двигаясь со скоростью $6 \text{ м/с}$, догоняет шар массой $1.5 \text{ кг}$, движущийся по тому же направлению со скоростью $2 \text{ м/с}$. Найдите скорости шаров после их абсолютно упругого соударения.

Решение.

1. Шар массой 10 кг катится по горизонтальной поверхности со скоростью 2 м/с и сталкивается с другим шаром, движущимся ему навстречу со скоростью 1 м/с. В результате абсолютно неупругого столкновения шары остановились. Какова масса второго шара?

Дано:

$m_1 = 10$ кг

$v_1 = 2$ м/с

$v_2 = 1$ м/с

$u = 0$ м/с

Найти:

$m_2$ - ?

Решение:

При абсолютно неупругом столкновении выполняется закон сохранения импульса. Так как шары после столкновения останавливаются, их суммарный импульс становится равным нулю. Это означает, что суммарный импульс системы до столкновения также был равен нулю.

Запишем закон сохранения импульса в векторной форме:

$m_1 \vec{v_1} + m_2 \vec{v_2} = (m_1 + m_2) \vec{u}$

Спроецируем уравнение на ось Ox, направленную в сторону движения первого шара. Скорость второго шара, движущегося навстречу, будет иметь отрицательную проекцию.

$m_1 v_1 - m_2 v_2 = (m_1 + m_2) u$

Поскольку после столкновения шары остановились, их конечная скорость $u = 0$.

$m_1 v_1 - m_2 v_2 = 0$

Отсюда следует, что импульсы шаров до столкновения были равны по модулю и противоположны по направлению:

$m_1 v_1 = m_2 v_2$

Выразим массу второго шара $m_2$:

$m_2 = \frac{m_1 v_1}{v_2}$

Подставим числовые значения:

$m_2 = \frac{10 \text{ кг} \cdot 2 \text{ м/с}}{1 \text{ м/с}} = 20 \text{ кг}$

Ответ: масса второго шара равна 20 кг.

2. Шар массой 1 кг, двигаясь со скоростью 6 м/с, догоняет шар массой 1,5 кг, движущийся по тому же направлению со скоростью 2 м/с. Найдите скорости шаров после их абсолютно упругого соударения.

Дано:

$m_1 = 1$ кг

$v_1 = 6$ м/с

$m_2 = 1.5$ кг

$v_2 = 2$ м/с

Найти:

$u_1$ - ?, $u_2$ - ?

Решение:

При абсолютно упругом ударе выполняются два закона сохранения: закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.

Закон сохранения импульса:

$m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 u_1 + m_2 u_2$

Закон сохранения кинетической энергии:

$\frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{m_1 u_1^2}{2} + \frac{m_2 u_2^2}{2}$

Решение этой системы уравнений для скоростей после столкновения ($u_1$ и $u_2$) приводит к следующим формулам:

$u_1 = \frac{(m_1 - m_2)v_1 + 2m_2 v_2}{m_1 + m_2}$

$u_2 = \frac{(m_2 - m_1)v_2 + 2m_1 v_1}{m_1 + m_2}$

Подставим данные из условия задачи в эти формулы. Так как шары движутся в одном направлении, все скорости имеют одинаковый знак.

Вычислим скорость первого шара после столкновения:

$u_1 = \frac{(1 - 1.5) \cdot 6 + 2 \cdot 1.5 \cdot 2}{1 + 1.5} = \frac{-0.5 \cdot 6 + 3 \cdot 2}{2.5} = \frac{-3 + 6}{2.5} = \frac{3}{2.5} = 1.2 \text{ м/с}$

Вычислим скорость второго шара после столкновения:

$u_2 = \frac{(1.5 - 1) \cdot 2 + 2 \cdot 1 \cdot 6}{1 + 1.5} = \frac{0.5 \cdot 2 + 12}{2.5} = \frac{1 + 12}{2.5} = \frac{13}{2.5} = 5.2 \text{ м/с}$

Ответ: скорость первого шара после соударения $u_1 = 1.2$ м/с, скорость второго шара $u_2 = 5.2$ м/с.