Вариант 4, страница 65 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

СР-12. Движение тел в гравитационном поле. Самостоятельные работы - страница 65.

Условие.

Вариант 4

1. Какова первая космическая скорость для планеты, масса и радиус которой соответственно в 2 раза больше, чем у Земли?

2. На какой высоте должен находиться искусственный спутник Земли, чтобы его период обращения был равен 24 часам?

Решение.

1. Какова первая космическая скорость для планеты, масса и радиус которой соответственно в 2 раза больше, чем у Земли?

Дано:

Масса планеты $M_П = 2 M_З$

Радиус планеты $R_П = 2 R_З$

Найти:

$v_{1П}$ — первая космическая скорость для планеты.

Решение:

Первая космическая скорость $v_1$ для небесного тела массой $\text{M}$ и радиусом $\text{R}$ определяется по формуле, которая выводится из равенства силы тяготения и центростремительной силы для тела на круговой орбите у поверхности:

$v_1 = \sqrt{\frac{G M}{R}}$, где $\text{G}$ — гравитационная постоянная.

Для Земли первая космическая скорость ($v_{1З}$) равна:

$v_{1З} = \sqrt{\frac{G M_З}{R_З}} \approx 7.9$ км/с.

Для новой планеты, масса которой $M_П = 2 M_З$ и радиус $R_П = 2 R_З$, первая космическая скорость ($v_{1П}$) будет:

$v_{1П} = \sqrt{\frac{G M_П}{R_П}}$

Подставим значения массы и радиуса планеты в формулу:

$v_{1П} = \sqrt{\frac{G (2 M_З)}{2 R_З}} = \sqrt{\frac{2}{2} \cdot \frac{G M_З}{R_З}} = \sqrt{\frac{G M_З}{R_З}}$

Таким образом, мы видим, что первая космическая скорость для новой планеты равна первой космической скорости для Земли:

$v_{1П} = v_{1З}$

Ответ: Первая космическая скорость для планеты будет такой же, как у Земли, и составит примерно 7.9 км/с.

2. На какой высоте должен находиться искусственный спутник Земли, чтобы его период обращения был равен 24 часам?

Дано:

$T = 24$ часа

$G \approx 6.674 \times 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2}$ — гравитационная постоянная

$M_З \approx 5.972 \times 10^{24}$ кг — масса Земли

$R_З \approx 6.371 \times 10^6$ м — средний радиус Земли

$T = 24 \text{ часа} = 24 \times 60 \times 60 \text{ с} = 86400 \text{ с}$

Найти:

$\text{h}$ — высота спутника над поверхностью Земли.

Решение:

Движение спутника по круговой орбите происходит под действием силы всемирного тяготения, которая является центростремительной силой. Согласно второму закону Ньютона:

$F_g = F_ц$

$G \frac{M_З m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$

где $\text{m}$ — масса спутника, $\text{r}$ — радиус орбиты ($r = R_З + h$), $\text{v}$ — орбитальная скорость.

Орбитальная скорость связана с периодом обращения $\text{T}$ соотношением $v = \frac{2 \pi r}{T}$. Подставим это выражение в уравнение сил:

$G \frac{M_З}{r^2} = \frac{(\frac{2 \pi r}{T})^2}{r} = \frac{4 \pi^2 r^2}{T^2 r} = \frac{4 \pi^2 r}{T^2}$

Из этого уравнения выразим радиус орбиты $\text{r}$ (это третий закон Кеплера в обобщенном виде):

$G M_З T^2 = 4 \pi^2 r^3$

$r = \sqrt[3]{\frac{G M_З T^2}{4 \pi^2}}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$r = \sqrt[3]{\frac{(6.674 \times 10^{-11}) \cdot (5.972 \times 10^{24}) \cdot (86400)^2}{4 \pi^2}} \approx \sqrt[3]{\frac{3.986 \times 10^{14} \cdot 7.465 \times 10^9}{39.478}}$

$r \approx \sqrt[3]{7.537 \times 10^{22}} \approx 4.224 \times 10^7$ м

Полученное значение $\text{r}$ — это радиус орбиты, то есть расстояние от центра Земли. Чтобы найти высоту $\text{h}$ над поверхностью, нужно вычесть из радиуса орбиты радиус Земли $R_З$:

$h = r - R_З$

$h \approx 4.224 \times 10^7 \text{ м} - 6.371 \times 10^6 \text{ м} = 42240 \text{ км} - 6371 \text{ км} \approx 35870 \text{ км}$

Такая орбита называется геостационарной, и спутники на ней "висят" над одной точкой земного экватора.

Ответ: Высота спутника должна быть приблизительно 35900 км.