Вариант 5, страница 67 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-13. Динамика свободных и вынужденных колебаний - страница 67.

Условие.

Вариант 5

1. Чему равна масса груза, который на пружине жесткостью 250 Н/м совершает 20 колебаний за 16 с?

2. Какова величина деформации пружины под действием висящего на ней груза, если период малых колебаний груза равен 0,6 с?

Решение.

1. Чему равна масса груза, который на пружине жесткостью 250 Н/м совершает 20 колебаний за 16 с?

Дано:

Жесткость пружины, $k = 250$ Н/м

Число колебаний, $N = 20$

Время колебаний, $t = 16$ с

Найти:

Масса груза, $\text{m}$ - ?

Решение:

Период колебаний $\text{T}$ – это время одного полного колебания. Его можно найти, разделив общее время колебаний на их число:

$T = \frac{t}{N} = \frac{16 \text{ с}}{20} = 0,8 \text{ с}$

Период колебаний пружинного маятника определяется по формуле:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Чтобы найти массу $\text{m}$, выразим ее из этой формулы. Сначала возведем обе части уравнения в квадрат:

$T^2 = (2\pi)^2 \frac{m}{k} = 4\pi^2 \frac{m}{k}$

Теперь выразим массу $\text{m}$:

$m = \frac{T^2 \cdot k}{4\pi^2}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$m = \frac{(0,8 \text{ с})^2 \cdot 250 \text{ Н/м}}{4\pi^2} = \frac{0,64 \cdot 250}{4\pi^2} = \frac{160}{4\pi^2} = \frac{40}{\pi^2}$

Приближенно считая $\pi^2 \approx 9,87$, получим:

$m \approx \frac{40}{9,87} \approx 4,05$ кг

Ответ: масса груза примерно равна 4,05 кг.

2. Какова величина деформации пружины под действием висящего на ней груза, если период малых колебаний груза равен 0,6 с?

Дано:

Период малых колебаний, $T = 0,6$ с

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Найти:

Величина деформации, $\text{x}$ - ?

Решение:

Период колебаний пружинного маятника определяется формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Когда груз неподвижно висит на пружине, он находится в положении равновесия. В этом положении сила тяжести, действующая на груз, уравновешивается силой упругости пружины. По закону Гука:

$F_{тяж} = F_{упр}$

$mg = kx$

где $\text{x}$ – величина деформации (удлинения) пружины в положении равновесия. Из этого равенства можно выразить отношение $\frac{m}{k}$:

$\frac{m}{k} = \frac{x}{g}$

Теперь подставим это выражение в формулу для периода колебаний:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{x}{g}}$

Выразим величину деформации $\text{x}$ из этой формулы. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$T^2 = 4\pi^2 \frac{x}{g}$

Отсюда находим $\text{x}$:

$x = \frac{T^2 g}{4\pi^2}$

Подставим известные значения:

$x = \frac{(0,6 \text{ с})^2 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2}{4\pi^2} = \frac{0,36 \cdot 9,8}{4\pi^2} \approx \frac{3,528}{4 \cdot 9,87} \approx \frac{3,528}{39,48} \approx 0,089$ м

Для наглядности можно перевести результат в сантиметры: $0,089 \text{ м} = 8,9$ см.

Ответ: величина деформации пружины примерно равна 0,089 м или 8,9 см.