Вариант 4, страница 68 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

СР-14. Релятивистская механика. Самостоятельные работы - страница 68.

Условие.

Вариант 4

1. Какой промежуток времени пройдет на звездолете, движущемся относительно Земли со скоростью $0.33c$, за 50 земных лет?

2. Две частицы удаляются друг от друга со скоростью $0.8c$ относительно земного наблюдателя. Какова относительная скорость частиц?

Решение.

1. Какой промежуток времени пройдет на звездолете, движущемся относительно Земли со скоростью 0,33с, за 50 земных лет?

Дано:

Скорость звездолета относительно Земли, $v = 0,33c$

Промежуток времени по земным часам, $\Delta t = 50$ лет

Найти:

Промежуток времени по часам на звездолете, $\Delta t_0$

Решение:

Это задача на релятивистское замедление времени, которое описывается специальной теорией относительности. Время для движущегося наблюдателя (на звездолете) течет медленнее, чем для неподвижного (на Земле). Связь между собственным временем $\Delta t_0$ (время в движущейся системе отсчета) и временем $\Delta t$ (время в неподвижной системе отсчета) выражается формулой:

$\Delta t_0 = \Delta t \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

где $\text{v}$ — скорость движения, $\text{c}$ — скорость света.

Подставим данные из условия задачи:

$\Delta t_0 = 50 \text{ лет} \cdot \sqrt{1 - \frac{(0,33c)^2}{c^2}} = 50 \cdot \sqrt{1 - (0,33)^2}$

Вычислим значение под корнем:

$1 - (0,33)^2 = 1 - 0,1089 = 0,8911$

Теперь извлечем квадратный корень и умножим на 50:

$\Delta t_0 = 50 \cdot \sqrt{0,8911} \approx 50 \cdot 0,944 = 47,2$ года

Таким образом, пока на Земле пройдет 50 лет, на борту звездолета пройдет примерно 47,2 года.

Ответ: На звездолете пройдет примерно 47,2 года.

2. Две частицы удаляются друг от друга со скоростью 0,8с относительно земного наблюдателя. Какова относительная скорость частиц?

Дано:

Скорость первой частицы относительно Земли, $v_1 = 0,8c$

Скорость второй частицы относительно Земли, $v_2 = -0,8c$ (знак "минус" означает, что частицы движутся в противоположных направлениях, удаляясь друг от друга)

Найти:

Относительная скорость частиц, $\text{u}$

Решение:

Для нахождения относительной скорости двух объектов, движущихся с релятивистскими скоростями, необходимо использовать релятивистский закон сложения скоростей. Мы хотим найти скорость второй частицы в системе отсчета, связанной с первой частицей.

Формула для релятивистского преобразования скоростей выглядит так:

$u = \frac{v_2 - v_1}{1 - \frac{v_1 v_2}{c^2}}$

Подставим в формулу значения скоростей частиц относительно земного наблюдателя:

$u = \frac{-0,8c - 0,8c}{1 - \frac{(0,8c)(-0,8c)}{c^2}} = \frac{-1,6c}{1 - \frac{-0,64c^2}{c^2}}$

Упростим выражение в знаменателе:

$u = \frac{-1,6c}{1 + 0,64} = \frac{-1,6c}{1,64}$

Вычислим конечное значение:

$u \approx -0,9756c$

Знак "минус" показывает, что вторая частица удаляется от первой. Величина относительной скорости равна модулю этого значения.

$|u| \approx 0,976c$

Ответ: Относительная скорость частиц составляет примерно 0,976с.