Вариант 1, страница 69 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

СР-16. Температура. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории. Самостоятельные работы - страница 69.

Условие.

СР-16. Температура. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории

Вариант 1

1. Вычислите среднюю квадратичную скорость молекул азота при 0 °С.

2. Какой объем занимает газ при давлении $2 \cdot 10^5$ Па, если его масса равна 1 кг, а средняя квадратичная скорость молекул равна 600 м/с?

Решение.

1. Вычислите среднюю квадратичную скорость молекул азота при 0 °С.

Дано:

Газ - азот ($N_2$)

$t = 0$ °С

Перевод в СИ:

Абсолютная температура $T = t + 273 = 0 + 273 = 273$ К

Молярная масса азота $M(N_2) = 28 \cdot 10^{-3}$ кг/моль

Универсальная газовая постоянная $R \approx 8.31$ Дж/(моль·К)

Найти:

$ \langle v_{кв} \rangle $ - ?

Решение:

Средняя квадратичная скорость молекул газа связана с его абсолютной температурой и молярной массой следующим соотношением:

$ \langle v_{кв} \rangle = \sqrt{\frac{3RT}{M}} $

где $\text{R}$ - универсальная газовая постоянная, $\text{T}$ - абсолютная температура, $\text{M}$ - молярная масса газа.

Подставим известные значения в формулу:

$ \langle v_{кв} \rangle = \sqrt{\frac{3 \cdot 8.31 \frac{Дж}{моль \cdot К} \cdot 273 К}{28 \cdot 10^{-3} \frac{кг}{моль}}} \approx \sqrt{\frac{6804.81}{0.028}} \approx \sqrt{243029} \approx 493 \frac{м}{с} $

Ответ: средняя квадратичная скорость молекул азота при 0 °С составляет примерно 493 м/с.

2. Какой объем занимает газ при давлении 2 · 10⁵ Па, если его масса равна 1 кг, а средняя квадратичная скорость молекул равна 600 м/с?

Дано:

$p = 2 \cdot 10^5$ Па

$m = 1$ кг

$ \langle v_{кв} \rangle = 600$ м/с

Найти:

$\text{V}$ - ?

Решение:

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории связывает давление газа с микроскопическими параметрами:

$ p = \frac{1}{3} n m_0 \langle v_{кв}^2 \rangle $

где $\text{p}$ - давление, $\text{n}$ - концентрация молекул ($n=N/V$), $m_0$ - масса одной молекулы, $ \langle v_{кв}^2 \rangle $ - средний квадрат скорости молекул.

Произведение концентрации $\text{n}$ на массу одной молекулы $m_0$ равно плотности газа $\rho$:

$ \rho = n \cdot m_0 = \frac{N}{V} \cdot m_0 = \frac{m}{V} $

где $\text{m}$ - общая масса газа, $\text{V}$ - его объем.

Подставим выражение для плотности в основное уравнение МКТ:

$ p = \frac{1}{3} \rho \langle v_{кв}^2 \rangle = \frac{1}{3} \frac{m}{V} \langle v_{кв}^2 \rangle $

Из этого уравнения выразим искомый объем $\text{V}$:

$ V = \frac{m \langle v_{кв}^2 \rangle}{3p} $

Подставим числовые значения из условия задачи:

$ V = \frac{1 \text{ кг} \cdot (600 \frac{м}{с})^2}{3 \cdot 2 \cdot 10^5 \text{ Па}} = \frac{360000}{6 \cdot 10^5} = \frac{36 \cdot 10^4}{6 \cdot 10^5} = 6 \cdot 10^{-1} = 0.6 \text{ м}^3 $

Ответ: газ занимает объем 0.6 м³.