Вариант 4, страница 69 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-15. Молекулярная структура вещества - страница 69.

Условие.

Вариант 4

1. Определите дефект массы ядра атома кислорода $ _{8}^{16}\text{O} $, имеющего массу 15,9949 а. е. м.

2. Рассчитайте энергию, которая выделяется при образовании изотопа урана $ _{92}^{235}\text{U} $ из составляющих его частиц. Масса изотопа урана равна 235,0439 а. е. м.

Решение.

1. Дано:

Изотоп кислорода: $^{16}_{8}\text{O}$

Масса атома кислорода: $m_{a}(^{16}\text{O}) = 15,9949 \text{ а.е.м.}$

Масса атома водорода (справочное значение): $m_{H} \approx 1,00783 \text{ а.е.м.}$

Масса нейтрона (справочное значение): $m_{n} \approx 1,00866 \text{ а.е.м.}$

Перевод в СИ:

$1 \text{ а.е.м.} = 1,66054 \times 10^{-27} \text{ кг}$

$m_{a}(^{16}\text{O}) = 15,9949 \cdot 1,66054 \times 10^{-27} \text{ кг} \approx 2,65602 \times 10^{-26} \text{ кг}$

$m_{H} \approx 1,00783 \cdot 1,66054 \times 10^{-27} \text{ кг} \approx 1,67356 \times 10^{-27} \text{ кг}$

$m_{n} \approx 1,00866 \cdot 1,66054 \times 10^{-27} \text{ кг} \approx 1,67493 \times 10^{-27} \text{ кг}$

Найти:

Дефект массы ядра $\Delta m$.

Решение:

Дефект массы ядра ($\Delta m$) — это разность между суммой масс всех нуклонов (протонов и нейтронов), из которых состоит ядро, и действительной массой самого ядра.

Ядро атома кислорода $^{16}_{8}\text{O}$ состоит из $Z=8$ протонов и $N = A - Z = 16 - 8 = 8$ нейтронов. Массовое число $A=16$, зарядовое число $Z=8$.

Для удобства вычислений дефект массы можно рассчитать через массы атомов, чтобы не учитывать отдельно массу электронов. Формула для расчета дефекта массы в этом случае выглядит так:

$\Delta m = Z \cdot m_{H} + N \cdot m_{n} - m_{a}(^{16}\text{O})$

Где $m_{H}$ — масса атома водорода, $m_{n}$ — масса нейтрона, а $m_{a}$ — масса данного атома.

Сначала рассчитаем суммарную массу составляющих частиц (8 атомов водорода и 8 нейтронов):

$Z \cdot m_{H} + N \cdot m_{n} = 8 \cdot 1,00783 \text{ а.е.м.} + 8 \cdot 1,00866 \text{ а.е.м.} = 8,06264 \text{ а.е.м.} + 8,06928 \text{ а.е.м.} = 16,13192 \text{ а.е.м.}$

Теперь найдем дефект массы, вычтя из полученной суммы массу атома кислорода:

$\Delta m = 16,13192 \text{ а.е.м.} - 15,9949 \text{ а.е.м.} = 0,13702 \text{ а.е.м.}$

Ответ: дефект массы ядра атома кислорода $^{16}_{8}\text{O}$ равен $0,13702 \text{ а.е.м.}$

2. Дано:

Изотоп урана: $^{235}_{92}\text{U}$

Масса атома урана: $m_{a}(^{235}\text{U}) = 235,0439 \text{ а.е.м.}$

Масса атома водорода (справочное значение): $m_{H} \approx 1,00783 \text{ а.е.м.}$

Масса нейтрона (справочное значение): $m_{n} \approx 1,00866 \text{ а.е.м.}$

Скорость света в вакууме: $c \approx 2,9979 \times 10^8 \text{ м/с}$

Энергетический эквивалент 1 а.е.м.: $E_1 \approx 931,5 \text{ МэВ}$

Перевод в СИ:

$1 \text{ а.е.м.} = 1,66054 \times 10^{-27} \text{ кг}$

$m_{a}(^{235}\text{U}) = 235,0439 \cdot 1,66054 \times 10^{-27} \text{ кг} \approx 3,9030 \times 10^{-25} \text{ кг}$

$m_{H} \approx 1,00783 \cdot 1,66054 \times 10^{-27} \text{ кг} \approx 1,67356 \times 10^{-27} \text{ кг}$

$m_{n} \approx 1,00866 \cdot 1,66054 \times 10^{-27} \text{ кг} \approx 1,67493 \times 10^{-27} \text{ кг}$

Найти:

Энергию, которая выделяется при образовании изотопа (энергию связи) $E_{св}$.

Решение:

Энергия, которая выделяется при образовании ядра из составляющих его частиц (нуклонов), называется энергией связи ядра ($E_{св}$). Она связана с дефектом массы ($\Delta m$) соотношением Эйнштейна:

$E_{св} = \Delta m \cdot c^2$

Первым шагом необходимо рассчитать дефект массы ядра урана $^{235}_{92}\text{U}$.

Ядро этого изотопа содержит $Z=92$ протона и $N = A - Z = 235 - 92 = 143$ нейтрона.

Рассчитаем дефект массы по формуле:

$\Delta m = Z \cdot m_{H} + N \cdot m_{n} - m_{a}(^{235}\text{U})$

Суммарная масса составляющих частиц:

$Z \cdot m_{H} + N \cdot m_{n} = 92 \cdot 1,00783 \text{ а.е.м.} + 143 \cdot 1,00866 \text{ а.е.м.} = 92,72036 \text{ а.е.м.} + 144,23818 \text{ а.е.м.} = 236,95854 \text{ а.е.м.}$

Дефект массы равен:

$\Delta m = 236,95854 \text{ а.е.м.} - 235,0439 \text{ а.е.м.} = 1,91464 \text{ а.е.м.}$

Теперь можно рассчитать энергию связи. Удобно использовать известный энергетический эквивалент 1 а.е.м., который составляет примерно $931,5 \text{ МэВ}$.

$E_{св} = \Delta m \cdot 931,5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} = 1,91464 \text{ а.е.м.} \cdot 931,5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} \approx 1783,33 \text{ МэВ}$

Для выражения ответа в системе СИ (в джоулях), переведем дефект массы в килограммы и применим формулу $E_{св} = \Delta m \cdot c^2$.

$\Delta m = 1,91464 \text{ а.е.м.} \cdot 1,66054 \times 10^{-27} \frac{\text{кг}}{\text{а.е.м.}} \approx 3,1793 \times 10^{-27} \text{ кг}$

$E_{св} = (3,1793 \times 10^{-27} \text{ кг}) \cdot (2,9979 \times 10^8 \text{ м/с})^2 \approx 2,8576 \times 10^{-10} \text{ Дж}$

Ответ: энергия, выделяющаяся при образовании изотопа урана $^{235}\text{U}$, составляет примерно $1783,33 \text{ МэВ}$ (или $2,8576 \times 10^{-10} \text{ Дж}$).