Вариант 4, страница 70 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

СР-16. Температура. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории. Самостоятельные работы - страница 70.

Условие.

Вариант 4

1. При какой температуре средняя квадратичная скорость молекул азота равна второй космической скорости для Земли?

2. Чему равна концентрация молекул кислорода, если давление его равно 0,2 МПа, а средняя квадратичная скорость молекул составляет 700 м/с?

Решение.

1. При какой температуре средняя квадратичная скорость молекул азота равна второй космической скорости для Земли?

Дано:

Газ - азот (N₂)

$v_{кв} = v_{II} = 11,2 \text{ км/с}$ (вторая космическая скорость для Земли)

$M = 28 \text{ г/моль}$ (молярная масса азота)

$R = 8,31 \text{ Дж/(моль·К)}$ (универсальная газовая постоянная)

Перевод в СИ:

$v_{кв} = 11,2 \times 10^3 \text{ м/с}$

$M = 28 \times 10^{-3} \text{ кг/моль}$

Найти:

$\text{T}$ - ?

Решение:

Средняя квадратичная скорость молекул идеального газа связана с его абсолютной температурой и молярной массой следующим соотношением:

$v_{кв} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$

где $v_{кв}$ - средняя квадратичная скорость, $\text{R}$ - универсальная газовая постоянная, $\text{T}$ - абсолютная температура, а $\text{M}$ - молярная масса газа.

Чтобы найти температуру $\text{T}$, выразим ее из этой формулы. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат:

$v_{кв}^2 = \frac{3RT}{M}$

Отсюда находим температуру:

$T = \frac{M v_{кв}^2}{3R}$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ:

$T = \frac{(28 \times 10^{-3} \text{ кг/моль}) \times (11,2 \times 10^3 \text{ м/с})^2}{3 \times 8,31 \text{ Дж/(моль·К)}} = \frac{28 \times 10^{-3} \times 125,44 \times 10^6}{24,93} \approx \frac{3512,32 \times 10^3}{24,93} \approx 140887 \text{ К}$

Округлим полученное значение до трех значащих цифр:

$T \approx 1,41 \times 10^5 \text{ К}$

Ответ: $1,41 \times 10^5 \text{ К}$.

2. Чему равна концентрация молекул кислорода, если давление его равно 0,2 МПа, а средняя квадратичная скорость молекул составляет 700 м/с?

Дано:

Газ - кислород (O₂)

$P = 0,2 \text{ МПа}$

$v_{кв} = 700 \text{ м/с}$

$M = 32 \text{ г/моль}$ (молярная масса кислорода)

$N_A = 6,02 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1}$ (число Авогадро)

Перевод в СИ:

$P = 0,2 \times 10^6 \text{ Па} = 2 \times 10^5 \text{ Па}$

$M = 32 \times 10^{-3} \text{ кг/моль}$

Найти:

$\text{n}$ - ?

Решение:

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (МКТ) связывает давление газа с концентрацией его молекул и средней квадратичной скоростью:

$P = \frac{1}{3} n m_0 v_{кв}^2$

где $\text{P}$ - давление, $\text{n}$ - концентрация молекул, $m_0$ - масса одной молекулы, $v_{кв}$ - средняя квадратичная скорость.

Выразим из этого уравнения искомую концентрацию $\text{n}$:

$n = \frac{3P}{m_0 v_{кв}^2}$

Массу одной молекулы кислорода ($m_0$) найдем через молярную массу ($\text{M}$) и число Авогадро ($N_A$):

$m_0 = \frac{M}{N_A} = \frac{32 \times 10^{-3} \text{ кг/моль}}{6,02 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1}} \approx 5,316 \times 10^{-26} \text{ кг}$

Теперь подставим все известные значения в формулу для концентрации:

$n = \frac{3 \times (2 \times 10^5 \text{ Па})}{(5,316 \times 10^{-26} \text{ кг}) \times (700 \text{ м/с})^2} = \frac{6 \times 10^5}{5,316 \times 10^{-26} \times 490000} \approx \frac{6 \times 10^5}{2,605 \times 10^{-20}} \approx 2,303 \times 10^{25} \text{ м}^{-3}$

Округлим результат до двух значащих цифр:

$n \approx 2,3 \times 10^{25} \text{ м}^{-3}$

Ответ: $2,3 \times 10^{25} \text{ м}^{-3}$.