Вариант 4, страница 71 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-17. Уравнение Клапейрона — Менделеева. Изопроцессы - страница 71.

Условие.

Вариант 4

1. В процессе изохорного охлаждения давление газа уменьшилось в 3 раза. Какой была начальная температура газа, если конечная температура стала равной $27°C$?

2. В баллоне объемом $200 \text{ л}$ находился гелий под давлением $100 \text{ кПа}$ при температуре $17°C$. После подкачивания гелия его давление поднялось до $300 \text{ кПа}$, а температура увеличилась до $47°C$. На сколько увеличилась масса гелия?

Решение.

1. Дано:

Процесс изохорный: $V = const$

Отношение давлений: $\frac{p_1}{p_2} = 3$

Конечная температура: $t_2 = 27 °C$

Перевод в СИ:

$T_2 = 27 + 273 = 300 \text{ К}$

Найти:

$T_1$ - ?

Решение:

В условии задачи описан изохорный процесс, то есть процесс, протекающий при постоянном объеме ($V = const$). Также, поскольку это процесс охлаждения одного и того же газа без утечек, его масса ($\text{m}$) остается постоянной. Для такого процесса справедлив закон Шарля.

Закон Шарля гласит, что для данной массы газа при постоянном объеме отношение давления к абсолютной температуре постоянно:

$\frac{p}{T} = const$

Следовательно, для начального (с индексом 1) и конечного (с индексом 2) состояний газа можно записать равенство:

$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$

Из этого соотношения выразим искомую начальную температуру $T_1$:

$T_1 = T_2 \cdot \frac{p_1}{p_2}$

По условию, давление газа уменьшилось в 3 раза, это означает, что отношение начального давления к конечному равно 3:

$\frac{p_1}{p_2} = 3$

Подставим известные значения в формулу для $T_1$:

$T_1 = 300 \text{ К} \cdot 3 = 900 \text{ К}$

Поскольку исходная температура была дана в градусах Цельсия, переведем результат обратно в эту шкалу:

$t_1 = T_1 - 273 = 900 - 273 = 627 °C$

Ответ: начальная температура газа была 900 К (что соответствует 627 °C).

2. Дано:

Начальное состояние (1):

Объем: $V = 200 \text{ л}$

Давление: $p_1 = 100 \text{ кПа}$

Температура: $t_1 = 17 °C$

Конечное состояние (2):

Давление: $p_2 = 300 \text{ кПа}$

Температура: $t_2 = 47 °C$

Справочные данные:

Газ - гелий (He)

Молярная масса гелия: $M = 4 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}$

Универсальная газовая постоянная: $R \approx 8.31 \text{ Дж/(моль·К)}$

Перевод в СИ:

$V = 200 \text{ л} = 200 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 0.2 \text{ м}^3$

$p_1 = 100 \text{ кПа} = 100 \cdot 10^3 \text{ Па} = 10^5 \text{ Па}$

$p_2 = 300 \text{ кПа} = 300 \cdot 10^3 \text{ Па} = 3 \cdot 10^5 \text{ Па}$

$T_1 = 17 + 273 = 290 \text{ К}$

$T_2 = 47 + 273 = 320 \text{ К}$

Найти:

$\Delta m$ - ?

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона):

$pV = \frac{m}{M}RT$

где $\text{p}$ — давление, $\text{V}$ — объем, $\text{m}$ — масса газа, $\text{M}$ — молярная масса газа, $\text{R}$ — универсальная газовая постоянная, $\text{T}$ — абсолютная температура.

Выразим массу газа из этого уравнения:

$m = \frac{pVM}{RT}$

Запишем выражения для начальной массы гелия ($m_1$) и конечной массы ($m_2$). Объем баллона $\text{V}$ остается неизменным.

$m_1 = \frac{p_1VM}{RT_1}$

$m_2 = \frac{p_2VM}{RT_2}$

Увеличение массы гелия $\Delta m$ равно разности между конечной и начальной массами:

$\Delta m = m_2 - m_1 = \frac{p_2VM}{RT_2} - \frac{p_1VM}{RT_1}$

Вынесем общий множитель $\frac{VM}{R}$ за скобки:

$\Delta m = \frac{VM}{R} \left( \frac{p_2}{T_2} - \frac{p_1}{T_1} \right)$

Подставим числовые значения в систему СИ и произведем расчеты:

$\Delta m = \frac{0.2 \text{ м}^3 \cdot 4 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}}{8.31 \text{ Дж/(моль·К)}} \left( \frac{3 \cdot 10^5 \text{ Па}}{320 \text{ К}} - \frac{10^5 \text{ Па}}{290 \text{ К}} \right)$

$\Delta m \approx \frac{0.0008}{8.31} \left( 937.5 - 344.83 \right) \text{ кг}$

$\Delta m \approx 9.627 \cdot 10^{-5} \cdot 592.67 \text{ кг} \approx 0.05706 \text{ кг}$

Округлим результат до двух значащих цифр. Масса гелия увеличилась примерно на 0.057 кг.

Ответ: масса гелия увеличилась на 0.057 кг (или 57 г).