Вариант 3, страница 72 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-18. Внутренняя энергия. Работа газа при изопроцессах - страница 72.

Условие.

Вариант 3

1. Какова внутренняя энергия одноатомного газа, занимающего при температуре 400 К объем 2,5 л, если концентрация его молекул $10^{20}$ см$^{-3}$?

2. Газ, расширяясь изобарно при давлении $2 \cdot 10^5$ Па, совершает работу 200 Дж. Определите первоначальный объем газа, если его конечный объем оказался равным 2,5 л.

Решение.

1. Какова внутренняя энергия одноатомного газа, занимающего при температуре 400 К объем 2,5 л, если концентрация его молекул 10²⁰ см⁻³?

Дано:

Газ - одноатомный
Температура, $T = 400 \text{ К}$
Объем, $V = 2,5 \text{ л}$
Концентрация молекул, $n = 10^{20} \text{ см}^{-3}$
Постоянная Больцмана, $k \approx 1,38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К}$

Перевод в систему СИ:

$V = 2,5 \text{ л} = 2,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$
$n = 10^{20} \text{ см}^{-3} = 10^{20} \cdot (10^{-2} \text{ м})^{-3} = 10^{20} \cdot 10^6 \text{ м}^{-3} = 10^{26} \text{ м}^{-3}$

Найти:

Внутренняя энергия, $\text{U}$

Решение:

Внутренняя энергия идеального одноатомного газа определяется формулой: $$ U = \frac{3}{2} N k T $$ где $\text{N}$ – общее число молекул газа, $\text{k}$ – постоянная Больцмана, $\text{T}$ – абсолютная температура.
Общее число молекул $\text{N}$ можно найти, зная концентрацию молекул $\text{n}$ и объем газа $\text{V}$: $$ N = n \cdot V $$ Подставим числовые значения для нахождения $\text{N}$: $$ N = 10^{26} \text{ м}^{-3} \cdot 2,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 2,5 \cdot 10^{23} $$ Теперь рассчитаем внутреннюю энергию: $$ U = \frac{3}{2} \cdot (2,5 \cdot 10^{23}) \cdot (1,38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К}) \cdot 400 \text{ К} $$ $$ U = 1,5 \cdot 2,5 \cdot 1,38 \cdot 400 \text{ Дж} = 2070 \text{ Дж} $$

Ответ: внутренняя энергия газа равна 2070 Дж.

2. Газ, расширяясь изобарно при давлении 2·10⁵ Па, совершает работу 200 Дж. Определите первоначальный объем газа, если его конечный объем оказался равным 2,5 л.

Дано:

Процесс - изобарный ($p = \text{const}$)
Давление, $P = 2 \cdot 10^5 \text{ Па}$
Работа газа, $A = 200 \text{ Дж}$
Конечный объем, $V_2 = 2,5 \text{ л}$

Перевод в систему СИ:

$V_2 = 2,5 \text{ л} = 2,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

Найти:

Первоначальный объем, $V_1$

Решение:

Работа, совершаемая газом при изобарном процессе (при постоянном давлении), вычисляется по формуле: $$ A = P \cdot \Delta V = P \cdot (V_2 - V_1) $$ где $\text{P}$ – постоянное давление, $\Delta V$ – изменение объема, $V_1$ и $V_2$ – начальный и конечный объемы соответственно.
Выразим из этой формулы начальный объем $V_1$: $$ \frac{A}{P} = V_2 - V_1 $$ $$ V_1 = V_2 - \frac{A}{P} $$ Подставим числовые значения в систему СИ: $$ V_1 = 2,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 - \frac{200 \text{ Дж}}{2 \cdot 10^5 \text{ Па}} $$ $$ V_1 = 2,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 - 1 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 $$ $$ V_1 = 1,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 $$ Переведем результат в литры для наглядности: $$ V_1 = 1,5 \text{ л} $$

Ответ: первоначальный объем газа равен 1,5 л.