Вариант 4, страница 74 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-19. Первый закон термодинамики - страница 74.

Условие.

Вариант 4

1. Одноатомный идеальный газ, взятый в количестве двух молей, расширяется без теплообмена с окружающей средой. Температура газа в ходе расширения уменьшилась на 10 °С. Определите работу, совершенную газом.

2. Одноатомный идеальный газ, взятый в количестве одного моля, нагревают на 1 °С первый раз изобарно, второй — изохорно. На сколько больше энергии было передано газу в первом процессе, чем во втором?

Решение.

1. Дано:

газ - одноатомный идеальный
$ν = 2$ моль
$ΔT_{C} = -10$ °C
Процесс - адиабатный ($Q = 0$)
$R ≈ 8,31$ Дж/(моль·К) (универсальная газовая постоянная)

Перевод в СИ:
Изменение температуры в градусах Цельсия равно изменению температуры в Кельвинах, поэтому $ΔT = -10$ К.

Найти:

$\text{A}$ - ?

Решение:

Процесс расширения газа происходит без теплообмена с окружающей средой, следовательно, это адиабатный процесс, для которого количество теплоты $\text{Q}$, переданное газу, равно нулю ($Q=0$).
Согласно первому закону термодинамики, количество теплоты, переданное системе, идет на изменение ее внутренней энергии $ΔU$ и на совершение работы $\text{A}$ системой против внешних сил: $Q = ΔU + A$.
Поскольку для адиабатного процесса $Q=0$, то $0 = ΔU + A$, откуда работа, совершенная газом, равна изменению его внутренней энергии, взятому с противоположным знаком: $A = -ΔU$.
Изменение внутренней энергии $ΔU$ для одноатомного идеального газа вычисляется по формуле: $ΔU = \frac{3}{2} ν R ΔT$, где $\text{ν}$ - количество вещества, $\text{R}$ - универсальная газовая постоянная, $ΔT$ - изменение температуры.
Подставим числовые значения в формулу для изменения внутренней энергии:
$ΔU = \frac{3}{2} \cdot 2 \text{ моль} \cdot 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot (-10 \text{ К}) = 3 \cdot 8,31 \cdot (-10) \text{ Дж} = -249,3 \text{ Дж}$.
Теперь найдем работу, совершенную газом:
$A = -ΔU = -(-249,3 \text{ Дж}) = 249,3 \text{ Дж}$.
Так как работа положительна, газ действительно совершил работу (расширился).

Ответ: 249,3 Дж.

2. Дано:

газ - одноатомный идеальный
$ν = 1$ моль
$ΔT_{C} = 1$ °C
Процесс 1 - изобарный ($p = \text{const}$)
Процесс 2 - изохорный ($V = \text{const}$)
$R ≈ 8,31$ Дж/(моль·К) (универсальная газовая постоянная)

Перевод в СИ:
Изменение температуры в градусах Цельсия равно изменению температуры в Кельвинах, поэтому $ΔT = 1$ К.

Найти:

$Q_1 - Q_2$ - ?

Решение:

Найдем количество теплоты, переданное газу в каждом процессе, используя первый закон термодинамики: $Q = ΔU + A$.
Изменение внутренней энергии $ΔU$ для одноатомного идеального газа в обоих случаях одинаково, так как оно зависит только от изменения температуры, которое равно $ΔT$: $ΔU = \frac{3}{2} ν R ΔT$.
Процесс 1: изобарный ($p = \text{const}$)
Количество теплоты, переданное газу, равно $Q_1 = ΔU + A_1$.
Работа газа при изобарном процессе $A_1 = pΔV$. Из уравнения состояния идеального газа $pV = νRT$ следует, что при постоянном давлении $pΔV = νRΔT$.
Таким образом, $A_1 = νRΔT$.
Тогда количество теплоты равно: $Q_1 = \frac{3}{2} ν R ΔT + ν R ΔT = \frac{5}{2} ν R ΔT$.
Процесс 2: изохорный ($V = \text{const}$)
Количество теплоты, переданное газу, равно $Q_2 = ΔU + A_2$.
Так как объем не меняется ($ΔV=0$), работа газа равна нулю: $A_2 = 0$.
Следовательно, вся подведенная теплота идет на изменение внутренней энергии: $Q_2 = ΔU = \frac{3}{2} ν R ΔT$.
Теперь найдем, на сколько больше энергии было передано газу в первом процессе, чем во втором, вычислив разность $Q_1 - Q_2$:
$Q_1 - Q_2 = \frac{5}{2} ν R ΔT - \frac{3}{2} ν R ΔT = (\frac{5}{2} - \frac{3}{2}) ν R ΔT = \frac{2}{2} ν R ΔT = ν R ΔT$.
Подставим числовые значения:
$Q_1 - Q_2 = 1 \text{ моль} \cdot 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 1 \text{ К} = 8,31 \text{ Дж}$.
Эта разница в количестве теплоты равна работе, которую совершил газ при изобарном расширении.

Ответ: на 8,31 Дж.