Вариант 5, страница 72 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

СР-18. Внутренняя энергия. Работа газа при изопроцессах. Самостоятельные работы - страница 72.

Условие.

Вариант 5

1. Какую работу совершит воздух, расширяясь изобарно при давлении $2 \cdot 10^5 \text{ Па}$, если его нагреть на $17^\circ\text{С}$? Первоначальный объем воздуха равен $15 \text{ м}^3$, а его температура равна $0^\circ\text{С}$.

2. Воздух массой $90 \text{ кг}$ нагревается от 10 до $20^\circ\text{С}$. Каково изменение внутренней энергии воздуха, если его считать двухатомным идеальным газом?

Решение.

1. Какую работу совершит воздух, расширяясь изобарно при давлении 2 · 10⁵ Па, если его нагреть на 17 °С? Первоначальный объем воздуха равен 15 м³, а его температура равна 0 °С.

Дано:

$p = 2 \cdot 10^5$ Па
$\Delta t = 17$ °C
$V_1 = 15$ м³
$t_1 = 0$ °C

Перевод в систему СИ:
Начальная абсолютная температура: $T_1 = t_1 + 273 = 0 + 273 = 273$ К
Изменение температуры в Кельвинах равно изменению в градусах Цельсия: $\Delta T = \Delta t = 17$ К

Найти:

$\text{A}$

Решение:

Процесс расширения воздуха является изобарным, так как давление постоянно ($p = const$). Работа газа при изобарном процессе вычисляется по формуле:

$A = p \cdot \Delta V = p(V_2 - V_1)$

где $V_1$ — начальный объем, а $V_2$ — конечный объем газа.

Для нахождения конечного объема $V_2$ воспользуемся законом Гей-Люссака для изобарного процесса:

$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$

Отсюда выразим конечный объем $V_2$:

$V_2 = V_1 \frac{T_2}{T_1}$

Конечная температура $T_2 = T_1 + \Delta T$. Подставим это в выражение для $V_2$ и затем в формулу для работы:

$A = p \left( V_1 \frac{T_1 + \Delta T}{T_1} - V_1 \right) = p V_1 \left( \frac{T_1 + \Delta T}{T_1} - 1 \right) = p V_1 \left( \frac{T_1 + \Delta T - T_1}{T_1} \right) = p V_1 \frac{\Delta T}{T_1}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу:

$A = 2 \cdot 10^5 \text{ Па} \cdot 15 \text{ м³} \cdot \frac{17 \text{ К}}{273 \text{ К}} = 30 \cdot 10^5 \cdot \frac{17}{273} = \frac{510 \cdot 10^5}{273} \approx 1.868 \cdot 10^5$ Дж

Округлим результат до трех значащих цифр:

$A \approx 1.87 \cdot 10^5$ Дж или 187 кДж.

Ответ: работа, совершенная воздухом, составляет примерно $1.87 \cdot 10^5$ Дж.

2. Воздух массой 90 кг нагревается от 10 до 20 °С. Каково изменение внутренней энергии воздуха, если его считать двухатомным идеальным газом?

Дано:

$m = 90$ кг
$t_1 = 10$ °C
$t_2 = 20$ °C
Газ – двухатомный (воздух)

Перевод в систему СИ:
Изменение температуры: $\Delta T = t_2 - t_1 = 20 - 10 = 10$ °C $= 10$ К

Справочные данные:

Молярная масса воздуха: $M \approx 29 \cdot 10^{-3}$ кг/моль
Универсальная газовая постоянная: $R \approx 8.31$ Дж/(моль·К)

Найти:

$\Delta U$

Решение:

Изменение внутренней энергии идеального газа зависит только от изменения его температуры и вычисляется по формуле:

$\Delta U = \frac{i}{2} \nu R \Delta T$

Здесь $\text{i}$ — число степеней свободы молекул газа, $\nu$ — количество вещества, $\text{R}$ — универсальная газовая постоянная, $\Delta T$ — изменение абсолютной температуры.

Воздух состоит в основном из азота ($N_2$) и кислорода ($O_2$), которые являются двухатомными газами. Для двухатомного газа число степеней свободы $i = 5$ (3 поступательных и 2 вращательных).

Количество вещества $\nu$ найдем по формуле:

$\nu = \frac{m}{M}$

где $\text{m}$ — масса газа, а $\text{M}$ — его молярная масса.

Подставим выражение для $\nu$ в формулу для изменения внутренней энергии:

$\Delta U = \frac{i}{2} \frac{m}{M} R \Delta T$

Подставим числовые значения:

$\Delta U = \frac{5}{2} \cdot \frac{90 \text{ кг}}{29 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}} \cdot 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 10 \text{ К}$

$\Delta U = 2.5 \cdot \frac{90}{0.029} \cdot 8.31 \cdot 10 \approx 644741$ Дж

Округлим результат до трех значащих цифр:

$\Delta U \approx 6.45 \cdot 10^5$ Дж или 645 кДж.

Ответ: изменение внутренней энергии воздуха составляет примерно $6.45 \cdot 10^5$ Дж.