Вариант 4, страница 72 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-18. Внутренняя энергия. Работа газа при изопроцессах - страница 72.

Условие.

Вариант 4

1. Чему равна концентрация молекул идеального одноатомного газа в сосуде объемом 2 л при температуре 27 °С, если внутренняя энергия его равна 300 Дж?

2. В цилиндре объемом 24 л находится газ, который изо-барно расширяется под давлением $5 \cdot 10^5$ Па. Каков ко-нечный объем газа, если при его расширении совершается работа в 1,5 кДж?

Решение.

1. Чему равна концентрация молекул идеального одноатомного газа в сосуде объемом 2 л при температуре 27 °C, если внутренняя энергия его равна 300 Дж?

Дано:

Газ: идеальный, одноатомный
$V = 2 \text{ л}$
$t = 27 \text{ °C}$
$U = 300 \text{ Дж}$
Постоянная Больцмана $k \approx 1.38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К}$

$V = 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$
$T = 27 + 273 = 300 \text{ К}$

Найти:

Концентрация молекул $\text{n}$

Решение:

Внутренняя энергия идеального одноатомного газа определяется по формуле:
$U = \frac{3}{2} N k T$,
где $\text{N}$ – число молекул газа, $\text{k}$ – постоянная Больцмана, $\text{T}$ – абсолютная температура.
Концентрация молекул $\text{n}$ – это отношение числа молекул $\text{N}$ к объему $\text{V}$, который они занимают:
$n = \frac{N}{V}$.
Из этой формулы выразим число молекул: $N = nV$.
Подставим выражение для $\text{N}$ в формулу внутренней энергии:
$U = \frac{3}{2} (nV) k T$.
Теперь выразим из полученного уравнения искомую концентрацию $\text{n}$:
$n = \frac{2U}{3VkT}$.
Подставим числовые значения в систему СИ и произведем расчет:
$n = \frac{2 \cdot 300 \text{ Дж}}{3 \cdot (2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3) \cdot (1.38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К}) \cdot 300 \text{ К}} = \frac{600}{1800 \cdot 1.38 \cdot 10^{-26}} \approx \frac{1}{4.14 \cdot 10^{-26}} \approx 2.415 \cdot 10^{25} \text{ м}^{-3}$.
Округлим до двух значащих цифр.

Ответ: концентрация молекул газа равна примерно $2.4 \cdot 10^{25} \text{ м}^{-3}$.

2. В цилиндре объемом 24 л находится газ, который изобарно расширяется под давлением 5·10⁵ Па. Каков конечный объем газа, если при его расширении совершается работа в 1,5 кДж?

Дано:

$V_1 = 24 \text{ л}$
$p = 5 \cdot 10^5 \text{ Па}$
$A = 1.5 \text{ кДж}$

$V_1 = 24 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$
$A = 1.5 \cdot 10^3 \text{ Дж}$

Найти:

Конечный объем газа $V_2$

Решение:

Процесс расширения газа является изобарным, так как давление постоянно ($p = \text{const}$). Работа, совершаемая газом при изобарном расширении, вычисляется по формуле:
$A = p \Delta V = p (V_2 - V_1)$,
где $\text{A}$ – работа газа, $\text{p}$ – давление, $V_1$ – начальный объем, $V_2$ – конечный объем.
Из этой формулы выразим изменение объема $\Delta V$:$V_2 - V_1 = \frac{A}{p}$.
Подставим числовые значения и рассчитаем изменение объема:
$\Delta V = \frac{1.5 \cdot 10^3 \text{ Дж}}{5 \cdot 10^5 \text{ Па}} = 0.3 \cdot 10^{-2} \text{ м}^3 = 3 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$.
Так как $1 \text{ л} = 10^{-3} \text{ м}^3$, то изменение объема равно $3 \text{ л}$.
Конечный объем газа равен сумме начального объема и изменения объема:
$V_2 = V_1 + \Delta V$.
$V_2 = 24 \text{ л} + 3 \text{ л} = 27 \text{ л}$.

Ответ: конечный объем газа равен $27 \text{ л}$.