Вариант 5, страница 74 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

СР-19. Первый закон термодинамики. Самостоятельные работы - страница 74.

Условие.

Вариант 5

1. Один моль одноатомного идеального газа находится в закрытом баллоне при температуре 27 °С. Какое количество теплоты необходимо сообщить газу, чтобы повысить его давление в 3 раза?

2. Одноатомный идеальный газ некоторой массы нагревают на 1 К первый раз изохорно, второй — изобарно. Найдите отношение количества теплоты, полученного газом в первом процессе, к количеству теплоты, полученному газом во втором процессе.

Решение.

1. Дано:

Газ: одноатомный идеальный
$ν = 1$ моль
$V = \text{const}$ (закрытый баллон)
$t_1 = 27$ °C
$\frac{p_2}{p_1} = 3$
$R \approx 8.31$ Дж/(моль·К)

$T_1 = 27 + 273 = 300$ К

Найти:

$\text{Q}$

Решение:

Согласно первому началу термодинамики, количество теплоты $\text{Q}$, сообщенное газу, идет на изменение его внутренней энергии $\Delta U$ и на совершение газом работы $\text{A}$:

$Q = \Delta U + A$

Поскольку газ находится в закрытом баллоне, его объем не изменяется ($V = \text{const}$). Такой процесс называется изохорным. Работа газа в изохорном процессе равна нулю:

$A = p\Delta V = 0$

Следовательно, вся сообщенная теплота идет на изменение внутренней энергии газа:

$Q = \Delta U$

Изменение внутренней энергии для $\text{ν}$ молей одноатомного идеального газа определяется формулой:

$\Delta U = \frac{3}{2}νR\Delta T = \frac{3}{2}νR(T_2 - T_1)$

где $\text{R}$ — универсальная газовая постоянная, а $T_1$ и $T_2$ — начальная и конечная абсолютные температуры газа.

Для изохорного процесса справедлив закон Шарля, связывающий давление и температуру:

$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$

Из этого соотношения выразим конечную температуру $T_2$:

$T_2 = T_1 \frac{p_2}{p_1}$

По условию, давление повысилось в 3 раза, то есть $\frac{p_2}{p_1} = 3$. Начальная температура $T_1 = 27 \text{ °C} + 273 = 300 \text{ К}$.

$T_2 = 300 \text{ К} \cdot 3 = 900 \text{ К}$

Теперь можем рассчитать количество теплоты, подставив значения в формулу:

$Q = \frac{3}{2}νR(T_2 - T_1) = \frac{3}{2} \cdot 1 \text{ моль} \cdot 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot (900 \text{ К} - 300 \text{ К})$

$Q = \frac{3}{2} \cdot 8.31 \cdot 600 = 3 \cdot 8.31 \cdot 300 = 7479 \text{ Дж}$

Результат можно выразить в килоджоулях: $Q \approx 7.48 \text{ кДж}$.

Ответ: 7479 Дж.

2. Дано:

Газ: одноатомный идеальный
$\Delta T = 1$ К
Процесс 1: изохорный ($V = \text{const}$)
Процесс 2: изобарный ($p = \text{const}$)

Найти:

$\frac{Q_1}{Q_2}$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся первым началом термодинамики: $Q = \Delta U + A$.

1. Изохорный процесс ($V = \text{const}$):

При изохорном нагревании объем газа не меняется, поэтому работа газа равна нулю: $A_1 = 0$.

Количество теплоты $Q_1$, полученное газом, полностью идет на изменение его внутренней энергии $\Delta U_1$:

$Q_1 = \Delta U_1$

Изменение внутренней энергии одноатомного идеального газа равно:

$\Delta U_1 = \frac{3}{2}νR\Delta T$

Таким образом:

$Q_1 = \frac{3}{2}νR\Delta T$

2. Изобарный процесс ($p = \text{const}$):

При изобарном нагревании газ совершает работу $A_2 = p\Delta V$. Из уравнения Менделеева-Клапейрона ($pV = νRT$) для изобарного процесса следует, что $p\Delta V = νR\Delta T$.

$A_2 = νR\Delta T$

Изменение внутренней энергии $\Delta U_2$ зависит только от изменения температуры и для одноатомного газа также равно:

$\Delta U_2 = \frac{3}{2}νR\Delta T$

Количество теплоты $Q_2$, полученное газом, равно сумме изменения внутренней энергии и работы газа:

$Q_2 = \Delta U_2 + A_2 = \frac{3}{2}νR\Delta T + νR\Delta T = \frac{5}{2}νR\Delta T$

Теперь найдем искомое отношение $\frac{Q_1}{Q_2}$:

$\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{\frac{3}{2}νR\Delta T}{\frac{5}{2}νR\Delta T}$

Сократив общие множители $ν, R$ и $\Delta T$, получаем:

$\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{3/2}{5/2} = \frac{3}{5} = 0.6$

Ответ: 3/5.