Вариант 1, страница 70 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-17. Уравнение Клапейрона — Менделеева. Изопроцессы - страница 70.

Условие.

СР-17. Уравнение Клапейрона—Менделеева. Изопроцессы

Вариант 1

1. В баллоне объемом 100 л находится 2 г кислорода при температуре $47^\circ \text{С}$. Каково давление газа в баллоне?

2. Во сколько раз увеличится объем пузырька воздуха, поднявшегося при постоянной температуре с глубины 8 км на поверхность? Атмосферное давление нормальное.

Решение.

1. В баллоне объемом 100 л находится 2 г кислорода при температуре 47 °С. Каково давление газа в баллоне?

Дано:

$V = 100$ л

$m = 2$ г

$t = 47$ °С

Перевод в систему СИ:
Объем: $V = 100 \cdot 10^{-3}$ м$^3 = 0.1$ м$^3$
Масса: $m = 2 \cdot 10^{-3}$ кг
Абсолютная температура: $T = t + 273.15 \approx 47 + 273 = 320$ К
Молярная масса кислорода ($O_2$): $M = 32$ г/моль $= 32 \cdot 10^{-3}$ кг/моль
Универсальная газовая постоянная: $R \approx 8.31$ Дж/(моль·К)

Найти:

$\text{P}$

Решение:

Для определения давления газа в баллоне используем уравнение состояния идеального газа, известное как уравнение Клапейрона-Менделеева:

$PV = \frac{m}{M}RT$

где $\text{P}$ – давление газа, $\text{V}$ – его объем, $\text{m}$ – масса газа, $\text{M}$ – молярная масса газа, $\text{R}$ – универсальная газовая постоянная, а $\text{T}$ – абсолютная температура газа.

Из данного уравнения выразим искомую величину – давление $\text{P}$:

$P = \frac{mRT}{MV}$

Подставим известные значения в формулу и произведем вычисления:

$P = \frac{2 \cdot 10^{-3} \text{ кг} \cdot 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 320 \text{ К}}{32 \cdot 10^{-3} \frac{\text{кг}}{\text{моль}} \cdot 0.1 \text{ м}^3} = \frac{2 \cdot 8.31 \cdot 320}{32 \cdot 0.1} = \frac{5318.4}{3.2} = 1662 \text{ Па}$

Полученное значение можно также выразить в килопаскалях: $1662$ Па $= 1.662$ кПа.

Ответ: давление газа в баллоне составляет $1662$ Па (или $1.662$ кПа).

2. Во сколько раз увеличится объем пузырька воздуха, поднявшегося при постоянной температуре с глубины 8 км на поверхность? Атмосферное давление нормальное.

Дано:

$h = 8$ км

$T = const$ (изотермический процесс)

$P_{атм} \approx 10^5$ Па (нормальное атмосферное давление)

Перевод в систему СИ:
Глубина: $h = 8 \cdot 10^3$ м

Справочные данные:
Плотность воды: $\rho \approx 1000$ кг/м$^3$
Ускорение свободного падения: $g \approx 10$ м/с$^2$

Найти:

$\frac{V_2}{V_1}$

Решение:

Поскольку пузырек воздуха поднимается при постоянной температуре, процесс является изотермическим. Для такого процесса справедлив закон Бойля-Мариотта, который гласит, что произведение давления газа на его объем есть величина постоянная:

$P_1V_1 = P_2V_2$

Здесь $P_1$ и $V_1$ – давление и объем пузырька на глубине $\text{h}$, а $P_2$ и $V_2$ – давление и объем на поверхности воды.

Нас интересует, во сколько раз увеличится объем, то есть отношение $\frac{V_2}{V_1}$. Выразим его из закона Бойля-Мариотта:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{P_1}{P_2}$

Давление на поверхности воды $P_2$ равно атмосферному давлению:

$P_2 = P_{атм} \approx 10^5$ Па

Давление на глубине $\text{h}$ ($P_1$) состоит из суммы атмосферного давления $P_{атм}$ и гидростатического давления столба воды высотой $\text{h}$:

$P_1 = P_{атм} + \rho g h$

Рассчитаем давление $P_1$:

$P_1 = 10^5 \text{ Па} + (1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 8 \cdot 10^3 \text{ м}) = 10^5 + 80 \cdot 10^6 = 100000 + 80000000 = 80100000$ Па

Теперь можем найти искомое отношение объемов:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{80100000 \text{ Па}}{100000 \text{ Па}} = 801$

Ответ: объем пузырька воздуха увеличится в 801 раз.