Вариант 5, страница 68 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

СР-14. Релятивистская механика. Самостоятельные работы - страница 68.

Условие.

Вариант 5

1. Какое время пройдет на Земле, если в ракете, движущейся со скоростью $0,99c$ относительно Земли, пройдет 10 лет?

2. Мощность общего излучения Солнца равна $3,83 \cdot 10^{26}$ Вт. На сколько в связи с этим уменьшается ежесекундно масса Солнца?

Решение.

1. Какое время пройдет на Земле, если в ракете, движущейся со скоростью 0,99c относительно Земли, пройдет 10 лет?

Дано:

Скорость ракеты, $v = 0,99c$
Собственное время (время в ракете), $\Delta t_0 = 10$ лет
Скорость света, $\text{c}$

Найти:

Время, прошедшее на Земле, $\Delta t$ - ?

Решение:

Согласно специальной теории относительности, время в движущейся системе отсчета замедляется относительно неподвижной системы. Это явление называется релятивистским замедлением времени и описывается формулой:

$\Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

где $\Delta t$ — время, прошедшее в неподвижной системе отсчета (на Земле), $\Delta t_0$ — собственное время, прошедшее в движущейся системе отсчета (в ракете), $\text{v}$ — скорость движущейся системы, $\text{c}$ — скорость света.

Подставим известные значения в формулу:

$v = 0,99c$

$\Delta t_0 = 10$ лет

$\Delta t = \frac{10 \text{ лет}}{\sqrt{1 - \frac{(0,99c)^2}{c^2}}} = \frac{10 \text{ лет}}{\sqrt{1 - \frac{0,9801c^2}{c^2}}} = \frac{10 \text{ лет}}{\sqrt{1 - 0,9801}} = \frac{10 \text{ лет}}{\sqrt{0,0199}}$

$\Delta t \approx \frac{10 \text{ лет}}{0,141067} \approx 70,89$ лет

Таким образом, пока в ракете пройдет 10 лет, на Земле пройдет примерно 70,9 года.

Ответ: ≈ 70,9 года.

2. Мощность общего излучения Солнца равна $3,83 \cdot 10^{26}$ Вт. На сколько в связи с этим уменьшается ежесекундно масса Солнца?

Дано:

Мощность излучения Солнца, $P = 3,83 \cdot 10^{26}$ Вт
Промежуток времени, $\Delta t = 1$ с
Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Найти:

Уменьшение массы Солнца за 1 секунду, $\Delta m$ - ?

Решение:

Мощность излучения $\text{P}$ — это энергия $\text{E}$, излучаемая за единицу времени $\Delta t$:

$P = \frac{E}{\Delta t}$

Отсюда энергия, излучаемая Солнцем за 1 секунду, равна:

$E = P \cdot \Delta t = 3,83 \cdot 10^{26} \text{ Вт} \cdot 1 \text{ с} = 3,83 \cdot 10^{26} \text{ Дж}$

Согласно формуле эквивалентности массы и энергии Эйнштейна, $E = mc^2$, потеря энергии телом сопровождается потерей его массы. Ежесекундное уменьшение массы Солнца $\Delta m$ можно найти из соотношения:

$E = \Delta m \cdot c^2$

Выразим отсюда $\Delta m$:

$\Delta m = \frac{E}{c^2}$

Подставим числовые значения:

$\Delta m = \frac{3,83 \cdot 10^{26} \text{ Дж}}{(3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2} = \frac{3,83 \cdot 10^{26}}{9 \cdot 10^{16}} \text{ кг}$

$\Delta m \approx 0,4256 \cdot 10^{10} \text{ кг} \approx 4,26 \cdot 10^9 \text{ кг}$

Это означает, что каждую секунду масса Солнца уменьшается примерно на 4,26 миллиарда килограммов, или 4,26 миллиона тонн.

Ответ: масса Солнца ежесекундно уменьшается на $4,26 \cdot 10^9$ кг.