Вариант 3, страница 68 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-14. Релятивистская механика - страница 68.

Условие.

Вариант 3

1. Нестабильная частица движется со скоростью $0.99c$. Во сколько раз при этом увеличится время ее жизни?

2. Электроны, вылетающие из циклотрона, обладают кинетической энергией $0.67 \text{ МэВ}$. Какую долю скорости света составляет скорость этих электронов?

Решение.

1. Дано:

Скорость нестабильной частицы $v = 0,99c$, где $\text{c}$ - скорость света в вакууме.

Найти:

Отношение $\frac{\Delta t}{\Delta t_0}$ (во сколько раз увеличится время жизни).

Решение:

В соответствии со специальной теорией относительности, время для движущегося объекта замедляется с точки зрения неподвижного наблюдателя. Это явление описывается формулой замедления времени. Если $\Delta t_0$ — это собственное время жизни частицы (в ее системе отсчета), а $\Delta t$ — время жизни, измеренное в лабораторной системе отсчета (относительно которой частица движется), то связь между ними выражается формулой:
$\Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$
Чтобы найти, во сколько раз увеличится время жизни частицы для наблюдателя, нужно найти отношение $\frac{\Delta t}{\Delta t_0}$:
$\frac{\Delta t}{\Delta t_0} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$
Подставим в формулу заданную скорость $v = 0,99c$:
$\frac{\Delta t}{\Delta t_0} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{(0,99c)^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0,99^2}}$
Выполним вычисления:
$\frac{\Delta t}{\Delta t_0} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0,9801}} = \frac{1}{\sqrt{0,0199}} \approx \frac{1}{0,141} \approx 7,09$
Более точный расчет дает значение около 7,09. Округляя, получаем, что время жизни увеличится примерно в 7,1 раза.

Ответ: время жизни частицы увеличится примерно в 7,1 раза.

2. Дано:

Кинетическая энергия электронов $E_k = 0,67 \text{ МэВ}$.

Перевод в систему СИ:
$1 \text{ эВ} \approx 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$
$1 \text{ МэВ} = 10^6 \text{ эВ} = 1,602 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$
$E_k = 0,67 \text{ МэВ} = 0,67 \cdot 1,602 \cdot 10^{-13} \text{ Дж} \approx 1,073 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$
Справочные данные: энергия покоя электрона $E_0 = m_0c^2 \approx 0,511 \text{ МэВ}$.

Найти:

Долю скорости света $\frac{v}{c}$.

Решение:

Релятивистская кинетическая энергия частицы связана с ее полной энергией $\text{E}$ и энергией покоя $E_0$ соотношением $E_k = E - E_0$.
Полная энергия, в свою очередь, выражается через массу покоя $m_0$ и скорость $\text{v}$ как:
$E = \frac{m_0c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$
Таким образом, формула для кинетической энергии имеет вид:
$E_k = \frac{m_0c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - m_0c^2 = E_0 \left( \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - 1 \right)$
Выразим из этой формулы лоренц-фактор $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$:
$\gamma = 1 + \frac{E_k}{E_0}$
Для удобства расчетов будем использовать энергию в МэВ, так как в данном отношении единицы измерения сокращаются.
$\gamma = 1 + \frac{0,67 \text{ МэВ}}{0,511 \text{ МэВ}} \approx 1 + 1,311 = 2,311$
Обозначим искомую долю скорости света $\beta = \frac{v}{c}$. Связь между $\gamma$ и $\beta$ дается выражением:
$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}$
Теперь выразим $\beta$ из этого уравнения:
$\gamma^2 = \frac{1}{1 - \beta^2} \implies 1 - \beta^2 = \frac{1}{\gamma^2} \implies \beta^2 = 1 - \frac{1}{\gamma^2}$
$\beta = \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}}$
Подставим численное значение $\gamma$:
$\beta = \sqrt{1 - \frac{1}{2,311^2}} \approx \sqrt{1 - \frac{1}{5,341}} \approx \sqrt{1 - 0,1872} \approx \sqrt{0,8128} \approx 0,9015$
Таким образом, скорость электронов составляет примерно 0,9 от скорости света.

Ответ: скорость электронов составляет примерно 0,9 скорости света ($\frac{v}{c} \approx 0,9$).