Вариант 2, страница 66 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-13. Динамика свободных и вынужденных колебаний - страница 66.

Условие.

Вариант 3

1. Груз массой $200 \text{ г}$, подвешенный к пружине, совершает $30$ колебаний за $1 \text{ мин}$. Определите жесткость пружины.

2. Груз совершает горизонтальные гармонические колебания на пружине жесткостью $250 \text{ Н/м}$. Амплитуда колебаний $5 \text{ см}$. Найдите полную механическую энергию гармонических колебаний.

Решение.

1. Груз массой 200 г, подвешенный к пружине, совершает 30 колебаний за 1 мин. Определите жесткость пружины.

Дано:

$m = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$
$N = 30$
$t = 1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$

Найти:

$\text{k}$

Решение:

Период колебаний пружинного маятника определяется формулой Томпсона:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Также период колебаний можно найти как отношение времени колебаний ко числу полных колебаний за это время:

$T = \frac{t}{N}$

Приравняем правые части этих двух выражений:

$2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = \frac{t}{N}$

Чтобы выразить жесткость пружины $\text{k}$, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(2\pi)^2 \frac{m}{k} = (\frac{t}{N})^2$

$4\pi^2 \frac{m}{k} = \frac{t^2}{N^2}$

Отсюда выразим $\text{k}$:

$k = \frac{4\pi^2 m N^2}{t^2}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$k = \frac{4 \cdot (3.14)^2 \cdot 0.2 \text{ кг} \cdot 30^2}{(60 \text{ с})^2} = \frac{4 \cdot 9.86 \cdot 0.2 \cdot 900}{3600} = \frac{7099.2}{3600} \approx 1.97 \text{ Н/м}$

Ответ: жесткость пружины примерно равна $1.97 \text{ Н/м}$.

2. Груз совершает горизонтальные гармонические колебания на пружине жесткостью 250 Н/м. Амплитуда колебаний 5 см. Найдите полную механическую энергию гармонических колебаний.

Дано:

$k = 250 \text{ Н/м}$
$A = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

$\text{E}$

Решение:

Полная механическая энергия гармонических колебаний пружинного маятника равна максимальной потенциальной энергии пружины. Максимальная потенциальная энергия достигается в точках максимального отклонения от положения равновесия, то есть когда смещение $\text{x}$ равно амплитуде $\text{A}$.

Формула для полной механической энергии колебаний:

$E = E_{p, max} = \frac{kA^2}{2}$

Подставим известные значения в формулу:

$E = \frac{250 \text{ Н/м} \cdot (0.05 \text{ м})^2}{2} = \frac{250 \cdot 0.0025}{2} = \frac{0.625}{2} = 0.3125 \text{ Дж}$

Ответ: полная механическая энергия гармонических колебаний равна $0.3125 \text{ Дж}$.