Вариант 3, страница 65 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

СР-12. Движение тел в гравитационном поле. Самостоятельные работы - страница 65.

Условие.

Вариант 3

1. Какую скорость имел на орбите космический корабль, если период его обращения вокруг Земли равен 88,6 мин? Радиус Земли равен 6400 км, $\text{h}$ считать равной нулю.

2. Найдите период обращения спутника Земли, если он движется по круговой орбите на высоте, равной радиусу Земли.

Решение.

1. Дано:

$T = 88,6 \text{ мин}$

$R_З = 6400 \text{ км}$

$h = 0 \text{ км}$

$T = 88,6 \cdot 60 \text{ с} = 5316 \text{ с}$
$R_З = 6400 \cdot 1000 \text{ м} = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

$\text{v}$ — скорость космического корабля.

Решение:

Скорость движения тела по круговой орбите определяется формулой:

$v = \frac{2\pi r}{T}$

где $\text{r}$ — радиус орбиты, $\text{T}$ — период обращения. Радиус орбиты $\text{r}$ равен сумме радиуса Земли $R_З$ и высоты орбиты $\text{h}$ над поверхностью Земли.

$r = R_З + h$

По условию задачи, высота орбиты $h = 0$, следовательно, радиус орбиты равен радиусу Земли:

$r = R_З = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Теперь можем рассчитать скорость:

$v = \frac{2\pi R_З}{T} = \frac{2 \cdot 3,14159 \cdot 6,4 \cdot 10^6 \text{ м}}{5316 \text{ с}} \approx 7566 \text{ м/с}$

Переведем скорость в километры в секунду:

$7566 \text{ м/с} \approx 7,6 \text{ км/с}$

Ответ: Скорость космического корабля на орбите составляет примерно 7,6 км/с.

2. Дано:

$h_2 = R_З$

Из первой задачи: $T_1 = 88,6 \text{ мин}$, $r_1 = R_З$.

Найти:

$T_2$ — период обращения спутника.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся третьим законом Кеплера. Для двух тел, вращающихся вокруг одного и того же центрального тела по круговым орбитам, отношение квадратов периодов их обращения равно отношению кубов радиусов их орбит:

$\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{r_1^3}{r_2^3}$

В первой задаче (индекс 1) космический корабль двигался по орбите с радиусом $r_1 = R_З + h_1$. Так как $h_1 = 0$, то $r_1 = R_З$. Его период обращения $T_1 = 88,6 \text{ мин}$.

Во второй задаче (индекс 2) спутник движется на высоте, равной радиусу Земли, $h_2 = R_З$. Следовательно, радиус его орбиты:

$r_2 = R_З + h_2 = R_З + R_З = 2R_З$

Подставим радиусы орбит в формулу третьего закона Кеплера:

$\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{(R_З)^3}{(2R_З)^3} = \frac{R_З^3}{8R_З^3} = \frac{1}{8}$

Отсюда выразим $T_2$:

$T_2^2 = 8T_1^2$

$T_2 = \sqrt{8} \cdot T_1 = 2\sqrt{2} \cdot T_1$

Подставим числовое значение $T_1$ и вычислим $T_2$:

$T_2 = 2\sqrt{2} \cdot 88,6 \text{ мин} \approx 2 \cdot 1,414 \cdot 88,6 \text{ мин} \approx 2,828 \cdot 88,6 \text{ мин} \approx 250,6 \text{ мин}$

Округляя, получаем $T_2 \approx 251 \text{ мин}$. Это составляет 4 часа 11 минут.

Ответ: Период обращения спутника равен примерно 251 минуте.