Вариант 2, страница 65 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-12. Движение тел в гравитационном поле - страница 65.

Условие.

Вариант 3

1. Чему равен период обращения искусственного спутника, движущегося вокруг Луны на высоте 200 км от ее поверхности, если масса Луны равна $7,3 \cdot 10^{22}$ кг, а ее радиус составляет 1700 км?

2. Ускорение свободного падения на Венере составляет $0,9g_3$, а радиус Венеры равен $0,95R_3$. Найдите первую космическую скорость у поверхности Венеры.

Решение.

1. Чему равен период обращения искусственного спутника, движущегося вокруг Луны на высоте 200 км от ее поверхности, если масса Луны равна 7,3·10²² кг, а ее радиус составляет 1700 км?

Дано:
Высота спутника над поверхностью Луны, $h = 200 \text{ км}$
Масса Луны, $M_Л = 7,3 \cdot 10^{22} \text{ кг}$
Радиус Луны, $R_Л = 1700 \text{ км}$
Гравитационная постоянная, $G \approx 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Перевод в систему СИ:

$h = 200 \cdot 10^3 \text{ м} = 2 \cdot 10^5 \text{ м}$
$R_Л = 1700 \cdot 10^3 \text{ м} = 1,7 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Период обращения спутника, $\text{T}$.

Решение:

Спутник движется по круговой орбите под действием силы тяготения Луны. Эта сила является центростремительной силой, которая удерживает спутник на орбите.
Согласно второму закону Ньютона, центростремительная сила равна силе тяготения: $F_ц = F_т$.
Центростремительная сила определяется как $F_ц = \frac{m v^2}{r}$, где $\text{m}$ — масса спутника, $\text{v}$ — его орбитальная скорость, $\text{r}$ — радиус орбиты.
Сила тяготения определяется законом всемирного тяготения: $F_т = G \frac{M_Л m}{r^2}$.
Радиус орбиты спутника равен сумме радиуса Луны и высоты спутника над ее поверхностью: $r = R_Л + h$.
$r = 1,7 \cdot 10^6 \text{ м} + 0,2 \cdot 10^6 \text{ м} = 1,9 \cdot 10^6 \text{ м}$.
Приравняем силы: $G \frac{M_Л m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$.
Отсюда можно найти квадрат орбитальной скорости: $v^2 = \frac{G M_Л}{r}$.
Период обращения $\text{T}$ — это время, за которое спутник совершает один полный оборот. Он связан со скоростью и радиусом орбиты соотношением $T = \frac{2 \pi r}{v}$.
Возведем обе части в квадрат: $T^2 = \frac{4 \pi^2 r^2}{v^2}$.
Подставим выражение для $v^2$: $T^2 = \frac{4 \pi^2 r^2}{\frac{G M_Л}{r}} = \frac{4 \pi^2 r^3}{G M_Л}$.
Тогда период обращения равен (третий закон Кеплера): $T = \sqrt{\frac{4 \pi^2 r^3}{G M_Л}} = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{G M_Л}}$.
Подставим числовые значения:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{(1,9 \cdot 10^6)^3}{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 7,3 \cdot 10^{22}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{6,859 \cdot 10^{18}}{4,8691 \cdot 10^{11}}} \approx 2 \pi \sqrt{1,4087 \cdot 10^6} \approx 2 \cdot 3,14 \cdot 1187 \approx 7457 \text{ с}$.
Переведем в минуты: $7457 \text{ с} \div 60 \frac{\text{с}}{\text{мин}} \approx 124,3 \text{ мин}$.

Ответ: $T \approx 7457 \text{ с}$ (или примерно $124,3$ минуты).

2. Ускорение свободного падения на Венере составляет 0,9g_з, а радиус Венеры равен 0,95R_з. Найдите первую космическую скорость у поверхности Венеры.

Дано:
Ускорение свободного падения на Венере, $g_В = 0,9 g_з$
Радиус Венеры, $R_В = 0,95 R_з$
Ускорение свободного падения на Земле, $g_з \approx 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$
Радиус Земли, $R_з \approx 6,37 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Первую космическую скорость у поверхности Венеры, $v_В$.

Решение:

Первая космическая скорость — это минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу у поверхности планеты, чтобы оно стало ее искусственным спутником, движущимся по круговой орбите.
Для движения по круговой орбите у поверхности планеты сила тяжести, действующая на тело, должна быть равна центростремительной силе.
$F_т = F_ц$
Сила тяжести у поверхности Венеры: $F_т = m g_В$, где $\text{m}$ - масса тела.
Центростремительная сила: $F_ц = \frac{m v_В^2}{R_В}$.
Приравниваем выражения: $m g_В = \frac{m v_В^2}{R_В}$.
Сокращая массу $\text{m}$, получаем формулу для первой космической скорости на Венере:
$v_В^2 = g_В R_В \Rightarrow v_В = \sqrt{g_В R_В}$.
Теперь вычислим значения для Венеры, используя данные для Земли.
Ускорение свободного падения на Венере:
$g_В = 0,9 \cdot g_з \approx 0,9 \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 8,82 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.
Радиус Венеры:
$R_В = 0,95 \cdot R_з \approx 0,95 \cdot 6,37 \cdot 10^6 \text{ м} \approx 6,05 \cdot 10^6 \text{ м}$.
Подставим эти значения в формулу для первой космической скорости:
$v_В = \sqrt{8,82 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 6,05 \cdot 10^6 \text{ м}} \approx \sqrt{53,36 \cdot 10^6} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 7305 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.
Переведем в километры в секунду:
$v_В \approx 7,3 \frac{\text{км}}{\text{с}}$.

Ответ: $v_В \approx 7,3 \frac{\text{км}}{\text{с}}$.