Вариант 5, страница 65 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

СР-12. Движение тел в гравитационном поле. Самостоятельные работы - страница 65.

Условие.

Вариант 5

1. Период обращения спутника по круговой орбите вокруг Земли равен 240 мин. Определите высоту орбиты спутника над Землей. Радиус Земли равен 6400 км.

2. Два спутника движутся вокруг Земли по круговым орбитам на расстоянии 7600 и 600 км от ее поверхности. Чему равно отношение скорости первого спутника к скорости второго? Радиус Земли равен 6400 км.

Решение.

1. Дано:

Период обращения спутника, $T = 240 \text{ мин}$
Радиус Земли, $R_З = 6400 \text{ км}$
Ускорение свободного падения у поверхности Земли, $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Перевод в СИ:
$T = 240 \cdot 60 \text{ с} = 14400 \text{ с}$
$R_З = 6400 \cdot 1000 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Высоту орбиты спутника над Землей, $\text{h}$.

Решение:

При движении спутника по круговой орбите сила всемирного тяготения является центростремительной силой. Согласно второму закону Ньютона:
$F_g = ma_c$
где $F_g = \frac{GM_Зm}{(R_З+h)^2}$ — гравитационная сила, $\text{m}$ — масса спутника, $M_З$ — масса Земли, $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $R_З$ — радиус Земли, $\text{h}$ — высота орбиты. Центростремительное ускорение $a_c = \omega^2 r = \omega^2(R_З+h)$, где $\omega$ — угловая скорость.
$\frac{GM_Зm}{(R_З+h)^2} = m\omega^2(R_З+h)$
Угловая скорость связана с периодом обращения $\text{T}$ как $\omega = \frac{2\pi}{T}$. Подставим это в уравнение:
$\frac{GM_З}{(R_З+h)^3} = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 = \frac{4\pi^2}{T^2}$
Это третий закон Кеплера. Выразим отсюда радиус орбиты $r = R_З+h$:
$(R_З+h)^3 = \frac{GM_ЗT^2}{4\pi^2}$
Для нахождения произведения $GM_З$ воспользуемся формулой для ускорения свободного падения на поверхности Земли: $g = \frac{GM_З}{R_З^2}$, откуда $GM_З = gR_З^2$.
Подставим это выражение в формулу для радиуса орбиты:
$(R_З+h)^3 = \frac{gR_З^2T^2}{4\pi^2}$
$R_З+h = \sqrt[3]{\frac{gR_З^2T^2}{4\pi^2}}$
$h = \sqrt[3]{\frac{gR_З^2T^2}{4\pi^2}} - R_З$
Подставим числовые значения в системе СИ:
$h = \sqrt[3]{\frac{9.8 \text{ м/с}^2 \cdot (6.4 \cdot 10^6 \text{ м})^2 \cdot (14400 \text{ с})^2}{4 \cdot (3.14)^2}} - 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$
$h = \sqrt[3]{\frac{9.8 \cdot 40.96 \cdot 10^{12} \cdot 207.36 \cdot 10^6}{39.4384}} - 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$
$h \approx \sqrt[3]{2.105 \cdot 10^{21}} - 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$
$h \approx 1.282 \cdot 10^7 \text{ м} - 6.4 \cdot 10^6 \text{ м} = (12.82 - 6.4) \cdot 10^6 \text{ м} = 6.42 \cdot 10^6 \text{ м}$
Переведем результат в километры: $h \approx 6420 \text{ км}$.

Ответ: высота орбиты спутника над Землей составляет примерно 6420 км.

2. Дано:

Высота орбиты первого спутника, $h_1 = 7600 \text{ км}$
Высота орбиты второго спутника, $h_2 = 600 \text{ км}$
Радиус Земли, $R_З = 6400 \text{ км}$

Перевод в СИ:
$h_1 = 7.6 \cdot 10^6 \text{ м}$
$h_2 = 0.6 \cdot 10^6 \text{ м}$
$R_З = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Отношение скорости первого спутника к скорости второго, $\frac{v_1}{v_2}$.

Решение:

Для спутника на круговой орбите сила гравитации равна центростремительной силе:
$\frac{GM_Зm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$
где $M_З$ — масса Земли, $\text{m}$ — масса спутника, $\text{r}$ — радиус орбиты, $\text{v}$ — скорость спутника.
Из этого уравнения выразим скорость спутника:
$v^2 = \frac{GM_З}{r} \implies v = \sqrt{\frac{GM_З}{r}}$
Радиус орбиты $\text{r}$ — это сумма радиуса Земли и высоты орбиты: $r = R_З + h$.
Для первого спутника скорость $v_1 = \sqrt{\frac{GM_З}{R_З + h_1}}$.
Для второго спутника скорость $v_2 = \sqrt{\frac{GM_З}{R_З + h_2}}$.
Найдем отношение скоростей:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{\sqrt{\frac{GM_З}{R_З + h_1}}}{\sqrt{\frac{GM_З}{R_З + h_2}}} = \sqrt{\frac{R_З + h_2}{R_З + h_1}}$
Рассчитаем радиусы орбит. Так как в итоговой формуле стоит отношение радиусов, можно проводить вычисления в километрах:
$r_1 = R_З + h_1 = 6400 \text{ км} + 7600 \text{ км} = 14000 \text{ км}$
$r_2 = R_З + h_2 = 6400 \text{ км} + 600 \text{ км} = 7000 \text{ км}$
Подставим значения в формулу для отношения скоростей:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{7000 \text{ км}}{14000 \text{ км}}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$

Ответ: отношение скорости первого спутника к скорости второго равно $\sqrt{0.5}$ или приблизительно 0.707.