Вариант 3, страница 64 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

СР-11. Абсолютно неупругое и абсолютно упругое столкновение. Самостоятельные работы - страница 64.

Условие.

Вариант 3

1. Два неупругих шара массами 6 и 4 кг движутся на встречу друг другу со скоростями, соответственно равными 8 и 3 м/с, направленными вдоль одной прямой. С какой скоростью будут двигаться шары после абсолютно неупругого столкновения?

2. Во сколько раз уменьшится скорость атома гелия после упругого столкновения с неподвижным атомом водорода, масса которого в 4 раза меньше массы атома гелия?

Решение.

1. Дано:

Масса первого шара, $m_1 = 6$ кг

Масса второго шара, $m_2 = 4$ кг

Начальная скорость первого шара, $v_1 = 8$ м/с

Начальная скорость второго шара, $v_2 = 3$ м/с

Столкновение абсолютно неупругое.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Скорость шаров после столкновения, $v'$

Решение:

При абсолютно неупругом столкновении тела движутся дальше как единое целое. Для решения задачи воспользуемся законом сохранения импульса, согласно которому суммарный импульс замкнутой системы тел до взаимодействия равен суммарному импульсу системы после взаимодействия.

В векторной форме закон сохранения импульса для данного случая записывается так:

$m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} = (m_1 + m_2)\vec{v'}$

Поскольку движение происходит вдоль одной прямой, направим ось координат OX по направлению движения первого шара. Тогда проекция его скорости на эту ось будет положительной $v_{1x} = v_1 = 8$ м/с. Второй шар движется навстречу, поэтому проекция его скорости будет отрицательной $v_{2x} = -v_2 = -3$ м/с.

Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось OX:

$m_1 v_1 - m_2 v_2 = (m_1 + m_2)v'$

Из этого уравнения выразим искомую скорость $v'$:

$v' = \frac{m_1 v_1 - m_2 v_2}{m_1 + m_2}$

Подставим числовые значения в формулу:

$v' = \frac{6 \cdot 8 - 4 \cdot 3}{6 + 4} = \frac{48 - 12}{10} = \frac{36}{10} = 3,6$ м/с.

Положительный знак результата означает, что после столкновения оба шара будут двигаться в том же направлении, в котором двигался первый шар до столкновения.

Ответ: 3,6 м/с.

2. Дано:

Масса атома гелия - $m_1$

Масса атома водорода - $m_2$

Соотношение масс: $m_1 = 4m_2$

Начальная скорость атома гелия - $v_1$

Начальная скорость атома водорода - $v_2 = 0$ (неподвижен)

Столкновение упругое.

Найти:

Отношение начальной и конечной скоростей атома гелия, $\frac{v_1}{|v'_1|}$

Решение:

При упругом столкновении выполняются одновременно два закона сохранения: закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.

Запишем систему уравнений для упругого центрального столкновения:

$ \begin{cases} m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v'_1 + m_2 v'_2 \\ \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{m_1 (v'_1)^2}{2} + \frac{m_2 (v'_2)^2}{2} \end{cases} $

где $v'_1$ и $v'_2$ — скорости атомов гелия и водорода после столкновения соответственно.

Согласно условию, атом водорода изначально неподвижен, т.е. $v_2 = 0$. Система уравнений принимает вид:

$ \begin{cases} m_1 v_1 = m_1 v'_1 + m_2 v'_2 \\ m_1 v_1^2 = m_1 (v'_1)^2 + m_2 (v'_2)^2 \end{cases} $

Из решения этой системы можно получить формулу для скорости первого тела (атома гелия) после столкновения:

$v'_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_1$

Подставим в данную формулу соотношение масс из условия задачи: $m_1 = 4m_2$.

$v'_1 = \frac{4m_2 - m_2}{4m_2 + m_2} v_1 = \frac{3m_2}{5m_2} v_1 = \frac{3}{5} v_1$

Скорость атома гелия после столкновения стала равна $v'_1 = 0,6 v_1$. Чтобы найти, во сколько раз она уменьшилась, необходимо найти отношение начальной скорости к конечной:

$\frac{v_1}{v'_1} = \frac{v_1}{\frac{3}{5}v_1} = \frac{5}{3}$

Ответ: в $\frac{5}{3}$ раза (примерно в 1,67 раза).