Вариант 1, страница 64 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

СР-12. Движение тел в гравитационном поле. Самостоятельные работы - страница 64.

Условие.

СР-12. Движение тел в гравитационном поле

Вариант 1

1. Первый в мире летчик-космонавт Ю. А. Гагарин на космическом корабле двигался по круговой орбите, среднее расстояние которой от поверхности Земли составляло 251 км. Определите период обращения корабля вокруг Земли.

2. Какова первая космическая скорость у поверхности Солнца, если его масса равна $2 \cdot 10^{30}$ кг, а диаметр Солнца составляет $1,4 \cdot 10^9$ м?

Решение.

1. Первый в мире летчик-космонавт Ю. А. Гагарин на космическом корабле двигался по круговой орбите, среднее расстояние которой от поверхности Земли составляло 251 км. Определите период обращения корабля вокруг Земли.

Дано:
Высота орбиты $h = 251 \text{ км}$
Гравитационная постоянная $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$
Масса Земли $M_З \approx 5.97 \cdot 10^{24} \text{ кг}$
Средний радиус Земли $R_З \approx 6371 \text{ км}$

Перевод в систему СИ:
$h = 251 \cdot 10^3 \text{ м}$
$R_З = 6371 \cdot 10^3 \text{ м}$

Найти:

Период обращения $\text{T}$

Решение:

При движении космического корабля по круговой орбите сила всемирного тяготения является центростремительной силой. Согласно второму закону Ньютона:
$F_ц = F_т$
$\frac{m \cdot v^2}{r} = \frac{G \cdot M_З \cdot m}{r^2}$
где $\text{m}$ — масса корабля, $\text{v}$ — его орбитальная скорость, $\text{r}$ — радиус орбиты.
Радиус орбиты равен сумме радиуса Земли и высоты орбиты над поверхностью:
$r = R_З + h = 6371 \cdot 10^3 \text{ м} + 251 \cdot 10^3 \text{ м} = 6622 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.622 \cdot 10^6 \text{ м}$
Из уравнения для сил найдем скорость корабля:
$v^2 = \frac{G \cdot M_З}{r} \implies v = \sqrt{\frac{G \cdot M_З}{r}}$
Период обращения $\text{T}$ — это время, за которое корабль совершает один полный оборот. Он равен отношению длины орбиты (длины окружности) к скорости движения:
$T = \frac{2\pi r}{v}$
Подставим выражение для скорости в формулу периода:
$T = \frac{2\pi r}{\sqrt{\frac{G \cdot M_З}{r}}} = 2\pi r \sqrt{\frac{r}{G \cdot M_З}} = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G \cdot M_З}}$
Теперь подставим числовые значения:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{(6.622 \cdot 10^6)^3}{6.67 \cdot 10^{-11} \cdot 5.97 \cdot 10^{24}}} \approx 2\pi \sqrt{\frac{2.903 \cdot 10^{20}}{3.982 \cdot 10^{14}}} \approx 2\pi \sqrt{0.729 \cdot 10^6} \approx 6.28 \cdot 854 \approx 5362 \text{ с}$
Переведем секунды в минуты: $T = \frac{5362}{60} \approx 89.4 \text{ мин}$

Ответ: $T \approx 5362 \text{ с}$ или $89.4 \text{ мин}$.

2. Какова первая космическая скорость у поверхности Солнца, если его масса равна $2 \cdot 10^{30}$ кг, а диаметр Солнца составляет $1,4 \cdot 10^9$ м?

Дано:
Масса Солнца $M_С = 2 \cdot 10^{30} \text{ кг}$
Диаметр Солнца $d_С = 1.4 \cdot 10^9 \text{ м}$
Гравитационная постоянная $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Найти:

Первая космическая скорость $v_1$

Решение:

Первая космическая скорость — это скорость, которую необходимо придать телу, чтобы оно стало искусственным спутником, движущимся по круговой орбите вблизи поверхности небесного тела. Для такой орбиты сила тяготения равна центростремительной силе:
$\frac{m \cdot v_1^2}{R_С} = \frac{G \cdot M_С \cdot m}{R_С^2}$
где $\text{m}$ — масса тела, $M_С$ — масса Солнца, $R_С$ — радиус Солнца.
Из этого уравнения получаем формулу для первой космической скорости:
$v_1 = \sqrt{\frac{G \cdot M_С}{R_С}}$
Найдем радиус Солнца из его диаметра:
$R_С = \frac{d_С}{2} = \frac{1.4 \cdot 10^9 \text{ м}}{2} = 0.7 \cdot 10^9 \text{ м} = 7 \cdot 10^8 \text{ м}$
Подставим числовые значения в формулу:
$v_1 = \sqrt{\frac{6.67 \cdot 10^{-11} \cdot 2 \cdot 10^{30}}{7 \cdot 10^8}} = \sqrt{\frac{13.34 \cdot 10^{19}}{7 \cdot 10^8}} = \sqrt{1.9057 \cdot 10^{11}} \approx 4.36 \cdot 10^5 \frac{\text{м}}{\text{с}}$
Переведем скорость в километры в секунду:
$v_1 = 4.36 \cdot 10^5 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 436 \frac{\text{км}}{\text{с}}$

Ответ: $v_1 \approx 4.36 \cdot 10^5 \text{ м/с}$ или $436 \text{ км/с}$.