Вариант 3, страница 66 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-13. Динамика свободных и вынужденных колебаний - страница 66.

Условие.

Вариант 3

1. Автомобильные рессоры могут иметь жесткость порядка $2 \cdot 10^4$ Н/м. Чему будет равен период колебаний, если на рессоры упадет груз массой 500 кг?

2. Груз, подвешенный к вертикально закрепленной пружине, колеблется с частотой 5 Гц. На сколько окажется растянутой пружина после прекращения колебаний груза?

Решение.

1. Автомобильные рессоры могут иметь жесткость порядка $2 \cdot 10^4$ Н/м. Чему будет равен период колебаний, если на рессоры упадет груз массой 500 кг?

Дано:

Жесткость рессор, $k = 2 \cdot 10^4$ Н/м
Масса груза, $m = 500$ кг

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

Период колебаний, $\text{T}$

Решение:

Период свободных гармонических колебаний груза на упругом элементе (в данном случае на рессорах) определяется по формуле для пружинного маятника:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

где $\text{m}$ — масса груза, а $\text{k}$ — жесткость упругого элемента.

Подставим заданные значения в формулу:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{500 \text{ кг}}{2 \cdot 10^4 \text{ Н/м}}} = 2\pi\sqrt{\frac{500}{20000}} \text{ с} = 2\pi\sqrt{\frac{1}{40}} \text{ с}$

Упростим полученное выражение:

$T = 2\pi \frac{1}{\sqrt{4 \cdot 10}} = 2\pi \frac{1}{2\sqrt{10}} = \frac{\pi}{\sqrt{10}} \text{ с}$

Для получения численного ответа, примем $\pi \approx 3,14$ и $\sqrt{10} \approx 3,16$:

$T \approx \frac{3,14}{3,16} \approx 0,994 \text{ с}$

Округляя, получаем, что период колебаний приблизительно равен 1 секунде.

Ответ: период колебаний будет равен $\frac{\pi}{\sqrt{10}}$ с, что приблизительно составляет 1 с.

2. Груз, подвешенный к вертикально закрепленной пружине, колеблется с частотой 5 Гц. На сколько окажется растянутой пружина после прекращения колебаний груза?

Дано:

Частота колебаний, $\nu = 5$ Гц

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

Растяжение пружины, $\Delta x$

Решение:

После прекращения колебаний груз будет находиться в положении равновесия. В этом положении сила тяжести, действующая на груз, уравновешивается силой упругости пружины.

Сила тяжести: $F_{тяж} = mg$

Сила упругости (согласно закону Гука): $F_{упр} = k\Delta x$

где $\text{m}$ — масса груза, $\text{g}$ — ускорение свободного падения, $\text{k}$ — жесткость пружины, $\Delta x$ — искомое растяжение пружины.

В положении равновесия $F_{тяж} = F_{упр}$, следовательно:

$mg = k\Delta x$

Отсюда можно выразить растяжение:

$\Delta x = \frac{mg}{k} = g \frac{m}{k}$

Масса $\text{m}$ и жесткость $\text{k}$ неизвестны, но известна частота колебаний $\nu$. Частота колебаний пружинного маятника связана с массой и жесткостью формулой:

$\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$

Выразим из этой формулы отношение $\frac{m}{k}$. Для этого сначала возведем обе части в квадрат:

$\nu^2 = \frac{1}{4\pi^2}\frac{k}{m}$

Отсюда $\frac{k}{m} = 4\pi^2\nu^2$. Тогда обратное отношение равно:

$\frac{m}{k} = \frac{1}{4\pi^2\nu^2}$

Подставим это выражение в формулу для $\Delta x$:

$\Delta x = g \cdot \frac{1}{4\pi^2\nu^2} = \frac{g}{4\pi^2\nu^2}$

Теперь подставим числовые значения. Примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с².

$\Delta x = \frac{10 \text{ м/с}^2}{4\pi^2(5 \text{ Гц})^2} = \frac{10}{4\pi^2 \cdot 25} = \frac{10}{100\pi^2} = \frac{1}{10\pi^2} \text{ м}$

Для упрощения расчетов во многих школьных задачах используется приближение $\pi^2 \approx 10$. Воспользуемся им:

$\Delta x \approx \frac{1}{10 \cdot 10} = \frac{1}{100} = 0,01 \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры: $0,01 \text{ м} = 1 \text{ см}$.

Ответ: пружина окажется растянутой на 0,01 м или 1 см.