Вариант 4, страница 67 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-13. Динамика свободных и вынужденных колебаний - страница 67.

Условие.

Вариант 4

1. Груз, неподвижно висевший на пружине, растягивал ее на 25 мм. Затем груз оттянули вниз и отпустили. Определите период возникших гармонических колебаний.

2. Груз массой 400 г совершает гармонические колебания на пружине жесткостью 250 $Н/м$ с амплитудой 15 см. Найдите максимальную скорость груза.

Решение.

1. Груз, неподвижно висевший на пружине, растягивал ее на 25 мм. Затем груз оттянули вниз и отпустили. Определите период возникших гармонических колебаний.

Дано:

Статическое растяжение пружины $\Delta l = 25 \text{ мм}$

Ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:

$\Delta l = 25 \times 10^{-3} \text{ м} = 0.025 \text{ м}$

Найти:

$\text{T}$ — период колебаний.

Решение:

Когда груз висит на пружине неподвижно, он находится в положении равновесия. В этом положении сила тяжести $F_{тяж}$, действующая на груз, уравновешена силой упругости пружины $F_{упр}$. Согласно второму закону Ньютона:

$F_{тяж} = F_{упр}$

По закону Гука, сила упругости равна $F_{упр} = k \Delta l$, а сила тяжести $F_{тяж} = mg$. Таким образом, условие равновесия имеет вид:

$mg = k \Delta l$

где $\text{m}$ — масса груза, $\text{k}$ — жесткость пружины.

Из этого соотношения мы можем выразить отношение массы к жесткости:

$\frac{m}{k} = \frac{\Delta l}{g}$

Период свободных гармонических колебаний пружинного маятника определяется по формуле:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Подставим найденное ранее выражение для отношения $\frac{m}{k}$ в формулу периода:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{\Delta l}{g}}$

Теперь подставим числовые значения величин в систему СИ и произведем расчет:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{0.025 \text{ м}}{10 \text{ м/с}^2}} = 2\pi\sqrt{0.0025 \text{ с}^2} = 2\pi \cdot 0.05 \text{ с} = 0.1\pi \text{ с}$

Для получения численного ответа, примем значение $\pi \approx 3.14$:

$T \approx 0.1 \cdot 3.14 = 0.314 \text{ с}$

Ответ: $T = 0.1\pi \text{ с} \approx 0.314 \text{ с}$.

2. Груз массой 400 г совершает гармонические колебания на пружине жесткостью 250 Н/м с амплитудой 15 см. Найдите максимальную скорость груза.

Дано:

$m = 400 \text{ г}$

$k = 250 \text{ Н/м}$

$A = 15 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$m = 400 \text{ г} = 0.4 \text{ кг}$

$A = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$

Найти:

$v_{max}$ — максимальная скорость груза.

Решение:

При гармонических колебаниях в отсутствие трения полная механическая энергия системы сохраняется. Полная энергия $\text{E}$ равна сумме кинетической энергии груза $E_k$ и потенциальной энергии упругой деформации пружины $E_p$:

$E = E_k + E_p = \frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2} = \text{const}$

Максимальная скорость груза $v_{max}$ достигается в момент прохождения положения равновесия ($x=0$). В этой точке потенциальная энергия пружины равна нулю, а кинетическая энергия максимальна. Полная энергия системы равна этой максимальной кинетической энергии:

$E = E_{k,max} = \frac{mv_{max}^2}{2}$

В точках максимального отклонения от положения равновесия, то есть при $x = \pm A$, скорость груза равна нулю ($v=0$). В этих точках кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная энергия пружины максимальна. Полная энергия системы также равна этой максимальной потенциальной энергии:

$E = E_{p,max} = \frac{kA^2}{2}$

На основании закона сохранения энергии приравняем выражения для максимальной кинетической и максимальной потенциальной энергии:

$\frac{mv_{max}^2}{2} = \frac{kA^2}{2}$

Из этого равенства выразим максимальную скорость $v_{max}$:

$mv_{max}^2 = kA^2$

$v_{max} = \sqrt{\frac{k}{m}} A$

Подставим числовые значения в систему СИ и выполним вычисления:

$v_{max} = \sqrt{\frac{250 \text{ Н/м}}{0.4 \text{ кг}}} \cdot 0.15 \text{ м} = \sqrt{625 \text{ с}^{-2}} \cdot 0.15 \text{ м}$

$v_{max} = 25 \text{ с}^{-1} \cdot 0.15 \text{ м} = 3.75 \text{ м/с}$

Ответ: $v_{max} = 3.75 \text{ м/с}$.