Вариант 2, страница 67 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

СР-14. Релятивистская механика. Самостоятельные работы - страница 67.

Условие.

Вариант 3

1. Атомное ядро вылетает из ускорителя со скоростью $0,8c$ и выбрасывает в направлении своего движения $\beta$-частицу. Скорость, с которой $\beta$-частица удаляется от ускорителя, равна $0,95c$. Определите скорость $\beta$-частицы относительно ядра.

2. С какой скоростью $\text{v}$ должна двигаться система отсчета $K_1$, чтобы время в ней текло вдвое медленнее, чем в неподвижной системе отсчета $\text{K}$?

Решение.

1. Дано:

Скорость атомного ядра относительно ускорителя, $v = 0,8c$.

Скорость β-частицы относительно ускорителя, $u_x = 0,95c$.

где $\text{c}$ - скорость света в вакууме.

Найти:

Скорость β-частицы относительно ядра, $u'_x$.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся релятивистским законом сложения скоростей. Свяжем неподвижную систему отсчета К с ускорителем, а подвижную систему отсчета К' — с атомным ядром. Система К' движется относительно системы К со скоростью $v = 0,8c$.

Скорость β-частицы относительно неподвижной системы К равна $u_x = 0,95c$. Нам необходимо найти скорость β-частицы относительно подвижной системы К', то есть $u'_x$.

Формула для релятивистского преобразования скоростей при движении вдоль оси X имеет вид:

$u'_x = \frac{u_x - v}{1 - \frac{u_x v}{c^2}}$

Подставим данные из условия задачи в эту формулу:

$u'_x = \frac{0,95c - 0,8c}{1 - \frac{(0,95c)(0,8c)}{c^2}}$

Упростим выражение в числителе и знаменателе:

$u'_x = \frac{0,15c}{1 - \frac{0,76c^2}{c^2}} = \frac{0,15c}{1 - 0,76} = \frac{0,15c}{0,24}$

Вычислим итоговое значение:

$u'_x = \frac{15}{24}c = \frac{5}{8}c = 0,625c$

Ответ: скорость β-частицы относительно ядра равна $0,625c$.

2. Дано:

Время в движущейся системе отсчета K₁ течет вдвое медленнее, чем в неподвижной системе K. Это означает, что промежуток времени $\Delta t$, измеренный в системе K, в 2 раза больше собственного промежутка времени $\Delta t_0$, измеренного в системе K₁: $\Delta t = 2\Delta t_0$.

Найти:

Скорость $\text{v}$ системы отсчета K₁ относительно K.

Решение:

Для решения задачи используем формулу релятивистского замедления времени из специальной теории относительности:

$\Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

где $\Delta t$ — время в неподвижной системе K, $\Delta t_0$ — собственное время в движущейся системе K₁, $\text{v}$ — скорость системы K₁ относительно K, $\text{c}$ — скорость света.

Подставим в формулу условие задачи $\Delta t = 2 \Delta t_0$:

$2 \Delta t_0 = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Сократим обе части уравнения на $\Delta t_0$ (так как промежуток времени не равен нулю):

$2 = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Теперь выразим из этого уравнения скорость $\text{v}$. Сначала найдем знаменатель:

$\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{1}{2}$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$1 - \frac{v^2}{c^2} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$

Выразим отношение $\frac{v^2}{c^2}$:

$\frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Наконец, извлечем квадратный корень, чтобы найти $\text{v}$:

$v = \sqrt{\frac{3}{4}c^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}c$

Приближенное значение скорости: $v \approx 0,866c$.

Ответ: система отсчета K₁ должна двигаться со скоростью $v = \frac{\sqrt{3}}{2}c \approx 0,866c$.