Вариант 1, страница 66 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-13. Динамика свободных и вынужденных колебаний - страница 66.

Условие.

СР-13. Динамика свободных и вынужденных колебаний

Вариант 1

1. Демонстрационная пружина имеет постоянную жесткость, равную $10 \text{ Н/м}$. Груз какой массы следует подвесить к этой пружине, чтобы период колебаний составлял $5 \text{ с}$?

2. Груз, закрепленный на пружине жесткостью $150 \text{ Н/м}$, совершает гармонические колебания с амплитудой $4 \text{ см}$ в горизонтальной плоскости. Какова максимальная потенциальная энергия пружины?

Решение.

1. Дано:

k = 10 Н/м
T = 5 с

Найти:

m - ?

Решение:

Период свободных гармонических колебаний пружинного маятника определяется по формуле:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

где $\text{T}$ — период колебаний, $\text{m}$ — масса груза, $\text{k}$ — жесткость пружины.

Чтобы найти массу груза $\text{m}$, необходимо выразить ее из данной формулы. Для этого сначала возведем обе части уравнения в квадрат:

$T^2 = (2\pi)^2\frac{m}{k} = 4\pi^2\frac{m}{k}$

Теперь выразим массу $\text{m}$:

$m = \frac{T^2 \cdot k}{4\pi^2}$

Подставим известные числовые значения в полученную формулу:

$m = \frac{(5\text{ с})^2 \cdot 10\text{ Н/м}}{4\pi^2} = \frac{25 \cdot 10}{4\pi^2} = \frac{250}{4\pi^2} = \frac{62.5}{\pi^2}$

Принимая значение $\pi \approx 3.14$, рассчитаем массу:

$m \approx \frac{62.5}{(3.14)^2} \approx \frac{62.5}{9.8596} \approx 6.34\text{ кг}$

Ответ: чтобы период колебаний составлял 5 с, к пружине следует подвесить груз массой примерно 6.34 кг.

2. Дано:

k = 150 Н/м
A = 4 см

A = 4 см = 0.04 м

Найти:

$E_{p_{max}}$ - ?

Решение:

Потенциальная энергия пружины, деформированной на величину $\text{x}$ от положения равновесия, вычисляется по формуле:

$E_p = \frac{kx^2}{2}$

где $E_p$ — потенциальная энергия, $\text{k}$ — жесткость пружины, $\text{x}$ — смещение груза от положения равновесия.

При гармонических колебаниях максимальная потенциальная энергия достигается в точках максимального отклонения груза от положения равновесия. Максимальное отклонение равно амплитуде колебаний $\text{A}$. Таким образом, чтобы найти максимальную потенциальную энергию, нужно подставить в формулу значение $x = A$.

$E_{p_{max}} = \frac{kA^2}{2}$

Подставим числовые значения, предварительно переведя амплитуду в систему СИ (метры):

$E_{p_{max}} = \frac{150\text{ Н/м} \cdot (0.04\text{ м})^2}{2} = \frac{150 \cdot 0.0016}{2} = \frac{0.24}{2} = 0.12\text{ Дж}$

Ответ: максимальная потенциальная энергия пружины составляет 0.12 Дж.