Вариант 1, страница 67 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-14. Релятивистская механика - страница 67.

Условие.

СР-14. Релятивистская механика

Вариант 1

1. В ракете, движущейся со скоростью $0.96c$, было зафиксировано время полета 1 год. Сколько времени должно пройти по подсчетам земного наблюдателя?

2. Два космических корабля движутся относительно Земли со скоростью $0.75c$ в противоположных направлениях. Какова их относительная скорость с точки зрения каждого из космонавтов?

Решение.

1. Дано:

Скорость ракеты относительно Земли, $v = 0,96c$

Промежуток времени, зафиксированный в ракете (собственное время), $\Delta t_0 = 1$ год

Скорость света в вакууме, $\text{c}$

Найти:

Промежуток времени по подсчетам земного наблюдателя, $\Delta t$ - ?

Решение:

Данная задача решается с помощью формулы релятивистского замедления времени из специальной теории относительности. Согласно этой теории, для наблюдателя, находящегося в неподвижной системе отсчета, время в движущейся системе отсчета течет медленнее.

Связь между промежутком времени в неподвижной системе отсчета (на Земле) $\Delta t$ и собственным временем $\Delta t_0$ (в движущейся системе отсчета, т.е. в ракете) определяется формулой:

$\Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Подставим в эту формулу данные из условия задачи:

$\Delta t = \frac{1 \text{ год}}{\sqrt{1 - \frac{(0,96c)^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - (0,96)^2 \frac{c^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0,9216}}$

Выполним вычисления:

$\Delta t = \frac{1}{\sqrt{0,0784}} = \frac{1}{0,28}$

$\Delta t \approx 3,5714$ года

Таким образом, в то время как в ракете пройдет 1 год, на Земле пройдет примерно 3,57 года.

Ответ: по подсчетам земного наблюдателя должно пройти примерно 3,57 года.

2. Дано:

Скорость первого корабля относительно Земли, $v_1 = 0,75c$

Скорость второго корабля относительно Земли, $v_2 = 0,75c$ (в противоположном направлении)

Найти:

Относительная скорость кораблей, $v_{rel}$ - ?

Решение:

Для нахождения относительной скорости объектов, движущихся со скоростями, близкими к скорости света, необходимо использовать релятивистский закон сложения скоростей. Классическое сложение скоростей ($0,75c + 0,75c = 1,5c$) здесь неприменимо, так как скорость не может превышать скорость света $\text{c}$.

Выберем систему отсчета, связанную с Землей, как неподвижную (S). Направим ось Ох в сторону движения первого корабля. Тогда его скорость $v_1 = 0,75c$. Второй корабль движется в противоположном направлении, поэтому его скорость $v_2 = -0,75c$.

Теперь перейдем в систему отсчета, связанную с первым кораблем (S'). Скорость этой системы относительно Земли равна $v = v_1 = 0,75c$. Нам нужно найти скорость второго корабля $v_2'$ в этой новой системе отсчета. Релятивистский закон сложения скоростей (формула преобразования скоростей Лоренца) выглядит так:

$v_2' = \frac{v_2 - v}{1 - \frac{v_2 v}{c^2}}$

Подставим значения скоростей $v_2 = -0,75c$ и $v = 0,75c$:

$v_{rel} = v_2' = \frac{-0,75c - 0,75c}{1 - \frac{(-0,75c)(0,75c)}{c^2}} = \frac{-1,5c}{1 - \frac{-0,5625c^2}{c^2}}$

$v_{rel} = \frac{-1,5c}{1 + 0,5625} = \frac{-1,5c}{1,5625} = -0,96c$

Знак "минус" означает, что второй корабль движется в отрицательном направлении оси Ох в системе отсчета первого корабля. Модуль относительной скорости равен $0,96c$. Согласно принципу относительности, скорость первого корабля относительно второго будет такой же по величине.

Ответ: относительная скорость кораблей с точки зрения каждого из космонавтов равна $0,96c$.